一道经典极限题的分析与求解

一道经典极限题的分析与求解

题目

$\lim_{x\to \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\frac1x)^{x^2}}$

分析

乍看此题，可能会直接得出极限为1的错误答案，实际上第二类重要极限不能直接代入进去，而是需要进行一些变换之后再用L’Hospital法则进行求解。

求解步骤

首先注意到原极限可以将$x$次方提取出来，即：
$\begin{aligned} \lim_{x\to \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\frac1x)^{x^2}} &=\lim_{x\to \infty}\left[\frac{\mathrm{e}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^x\\ &=\lim_{x\to \infty}\left[\frac{(1+\frac1x)^{x}+\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^x\\ &=\lim_{x\to \infty}\left[1+\frac{\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^x\\ &=\lim_{x\to \infty}\left\{\left[1+\frac{\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}\right]^{\frac{(1+\frac1x)^{x}}{\mathrm{e}-(1+\frac1x)^{x}}}\right\}^{\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}}\\ &=\exp\left({\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}}\right) \end{aligned}$
于是要求原极限，只需计算：
$\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}}$
为此，先化简，分母可以利用重要极限，整个极限应用L’Hospital法则（为方便导数计算，进行变量替换$t=\dfrac1x$）：
$\begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{(1+\frac1x)^{x}} &=\lim_{x\to\infty}\frac{\mathrm{e}x-x(1+\frac1x)^{x}}{\mathrm{e}}\\ &{\tiny{x=\frac1t}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{\mathrm{e}-(1+t)^{\frac1t}}{\mathrm{e}t}\\ &{\tiny{L'Hospital}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{-(1+t)^{\frac1t}\left(-\frac1{t^2}\ln(1+t)+\frac1t\cdot\frac1{t+1}\right)}{\mathrm{e}}\\ &=\lim_{t\to0}\left(\frac1{t^2}\ln(1+t)-\frac1t\cdot\frac1{t+1}\right)\\ &=\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)-\frac{t}{t+1}}{t^2}\\ &{\tiny{L'Hospital}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{\frac1{1+t}-\frac1{(1+t)^2}}{2t}\\ &{\tiny{L'Hospital}\atop=}\lim_{t\to0}\frac{-\frac1{(1+t)^2}+\frac2{(1+t)^3}}{2}\\ &=\frac12 \end{aligned}$

所以，原极限
$\lim_{x\to \infty}\frac{\mathrm{e}^x}{(1+\frac1x)^{x^2}}=\sqrt{\mathrm{e}}$