逻辑代数基础

基础

二值逻辑：只有两种对立逻辑状态的逻辑关系。

逻辑代数中也用字母表示变量，这种变量称为逻辑变量。逻辑运算表示的是逻辑变量以及常量之间逻辑状态的推理运算，而不是数量之间的运算。（课本22页）

逻辑运算

与、或、非

与非、或非

异或、同或

与或非

逻辑等式的证明

解题万法和步骤:

方法一，分别列出等式两边逻辑式的真值表，若真值表完全相同，则等式成立。.

方法二，若能利用逻辑代数的公式和定理将等式两边化为完全相同的形式，则等式成立。

方法三，分别画出等式两边逻辑式的卡诺图，若卡诺图相同，则等式成立。

方法四,用Multisim的逻辑转换器将等式两边的逻辑式分别化简，若化简结果相同，则等式成立。

公式

基本公式

（课本24页）

常用公式

（课本25页）

基本定理

代入定理

在任何一一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。（课本27页）

反演定理

对于任意一一个逻辑式Y，若将其中所有的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y'。（课本27页）

对偶定理

若两逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。所谓对偶式是这样定义的：对于任何一个逻辑式Y，若将其中的“·”换成“+”，“+”换成“·”，0换成1，1换成0，则得到一个新的逻辑式Y^D，这个Y^D就称为Y的对偶式，或者说Y和Y^D互为对偶式。

逻辑函数及表示方法

• 逻辑函数：以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输人变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。因此,输出与输入之间乃是一种函数关系。这种函数关系称为逻辑函数。
• 逻辑真值表：将输人变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表格，即可得到真值表。
• 逻辑图：将逻辑函数式中各变量之间的与、或、非等逻辑关系用图形符号表示出来。
• 波形图：将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图。
• 卡诺图
• 硬件描述性语言

以上表示方法都可以相互转化。（课本29页）

真值表与逻辑函数式的相互转换

总结由真值表写出逻辑函数式的一般方法，这就是：

1. 找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输人变量取值的组合。
2. 每组输人变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的写入原变量，取值为0的写人反变量。
3. 将这些乘积项相加，即得Y的逻辑函数式。

由逻辑式列出真值表就更简单了。这时只需将输人变量取值的所有组合状态逐一代人逻辑式求出函数值，列成表，即可得到真值表。

逻辑函数式与逻辑图的相互转换

从给定的逻辑函数式转换为相应的逻辑图时，只要用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑运算符号并按运算优先顺序将它们连接起来，就可以得到所求的逻辑图了。

而在从给定的逻辑图转换为对应的逻辑函数式时，只要从逻辑图的输入端到输出端逐级写出每个图形符号的输出逻辑式，就可以在输出端得到所求的逻辑函数式了。

波形图与真值表的相互转换

在从已知的逻辑函数波形图求对应的真值表时，首先需要从波形图上找出每个时间段里输人变量与函数输出的取值，然后将这些输人、输出取值对应列表，就得到了所求的真值表。

在将真值表转换为波形图时，只需将真值表中所有的输人变量与对应的输出变量取值依次排列画成以时间为横轴的波形，就得到了所求的波形图，如我们前面已经做过的那样。

逻辑函数的两种标准形式

最小项

在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。（课本35页）

从最小项的定义出发可以证明它具有如下的重要性质：

①在输人变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。

②全体最小项之和为1。

③任意两个最小项的乘积为0。

④具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子。

若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项具有相邻性。

最大项

在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。（课本36页）

根据最大项的定义同样也可以得到它的主要性质，这就是：

①在输人变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为0。

②全体最大项之积为0。

③任意两个最大项之和为1。

④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。

逻辑函数的最大项之积形式

利用逻辑代数的基本公式和定理，首先我们一定能把任何一个逻辑函数式化成若干多项式相乘的或与形式（也称“和之积"形式）。然后再利用基本公式AA'=0将每个多项式中缺少的变量补齐，就可以将函数式的或与形式化成最大项之积的形式了。

逻辑函数形式的变换

可以通过运算将给定的与或形式逻辑函数式变换为最小项之和的形式或最大项之积的形式。（课本37页）

转化为与或非形式，根据逻辑代数的基本公式A +A'=1和代人定理可知，任何一个逻辑函数Y都遵守公式Y+Y'=1。又因为全部最小项之和恒等于1，所以不包含在Y中的那些最小项之和就是Y^'。将这些最小项之和再求反，也得到Y，而且是与或非形式的逻辑函数式。（课本38页）

如果要求全部用或非门电路实现逻辑函数，则应将逻辑函数式化成全部由或非运算组成的形式，即或非-或非形式。这时可以先将逻辑函数式化为与或非的形式，然后再利用反演定理将其中的每个乘积项化为或非形式，这样就得到了或非-或非式。（课本39页）

逻辑函数的化简方法

公式化简法

公式化简法的原理就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。

并项法

利用公式AB +AB'=A可以将两项合并为一项，并消去B和B'这一对因子。而且，根据代人定理可知，A和B均可以是任何复杂的逻辑式。

吸收法

利用公式A+AB=A可将AB项消去。A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。

消项法

利用公式AB +A'C+BC=AB +A'C及AB +A'C + BCD=AB +A'C将BC或BCD项消去。其中A、B、C、D均可以是任何复杂的逻辑式。

消因子法

利用公式A +A'B=A +B可将A'B中的A'消去。A、B均可以是任何复杂的逻辑式。

配项法

①根据基本公式中的A +A=A可以在逻辑函数式中重复写人某一项，有时能获得更加简单的化简结果。

②根据基本公式中的A +A'=1可以在函数式中的某一项上乘以(A +A')，然后拆成两项分别与其他项合并，有时能得到更加简单的化简结果。

在化简复杂的逻辑函数时，往往需要灵活、交替地综合运用上述方法，才能得到最后的化简结果。

卡诺图化简法

将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。

处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。因此，从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。

既然任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，那么自然也就可以设法用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体的方法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1，在其余的位置上填人0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于它的卡诺图中填人1的那些最小项之和。

利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图，上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。

合并最小项原则

• 若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。
• 若四个最小项相邻并排列成-一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。合并后的结果中只包含公共因子。
• 若八个最小项相邻并且排列成-一个矩形组，则可合并为一-项并消去三对因子。合并后的结果中只包含公共因子。

至此，可以归纳出合并最小项的一般规则，这就是：如果有2ⁿ最小项相邻(n=1,2,···)并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。

卡诺图化简法的步骤

用卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤进行:

1. 将函数化为最小项之和的形式。
2. 画出表示该逻辑函数的卡诺图。
3. 找出可以合并的最小项。
4. 选取化简后的乘积项。选取的原则是：

1. 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应复盖卡诺图中所有的1）。
2. 所用的乘积项数目最少。也就是可合并的最小项组成的矩形组数目最少。
3. 每个乘积项包含的因子最少。也就是每个可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项。

有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。

我们可以通过合并卡诺图中的1来求得化简结果的。但有时也可以通过合并卡诺图中的0先求出Y'的化简结果，然后再将Y'求反而得到Y。

此外，在需要将函数化为最简的与或非式时，采用合并0的方式最为适宜，因为得到的结果正是与或非形式。如果要求得到Y'的化简结果，则采用合并0的方式就更简便了。

两个逻辑函数间的与、或、异或运算可以通过将它们的卡诺图中对应的最小项作与、或、异或运算来实现。

也就是可以在画出卡诺图之后，可以通过两个卡诺图里面的0和1进行相应的逻辑运算得出最终的结果，然后再对结果进行化简。