应用场景-修路问题
看一个应用场景和问题：
- 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里
- 问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
- 思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.
- 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
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给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
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N个顶点，一定有N-1条边
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包含全部顶点
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N-1条边都在图中
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举例说明(如图:)
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求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法
- 普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
- 普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合
- 中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
- 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
- 提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
package prim;
import java.util.Arrays;
public class PrimAlgorithm {
public static void main(String[] args) {
// 测试图是否创建成功
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int verxs = data.length;
// 邻接矩阵关系使用二维数组描述
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000}};
// 创建一个MGraph对象
MGraph mGraph = new MGraph(verxs);
// 创建一个MinTree对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(mGraph, verxs, data, weight);
// 输出
minTree.showGraph(mGraph);
// 测试普里姆算法
minTree.prim(mGraph,0);
}
}
// 创建最小生成树 ———> 村庄的图
class MinTree {
/**
* 创建邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char[] data, int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) { // 顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 显示图的邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 编写prim算法，的到最小生成树
*
* @param graph 图
* @param v 起始点,表示从图的第几个结点开始生成 'A'->0 'B'->1
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
// visited[] 标记结点（顶点）是否被访问过，默认元素的值都是0，表示没有访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
// for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) {
// visited[i] = 0;
// }
// 把当前结点标记为已访问
visited[v] = 1;
// 用h1和h2记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; // 将miniWeight初始化成一个大数，后面的遍历过程中，会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有graph.verxs个顶点，所以普里姆算法结束后，会有graph.verxs-1条边
// 确定每一次生成的子图，和哪个结点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还未访问过的结点
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
// 替换minWeight,寻找已访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
// 找到了一条边是最小的
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + ">权值：" + minWeight);
// 将当前找到的结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
// miniWeight重置为10000
minWeight = 10000;
}
}
}
class MGraph {
int verxs; // 表示图的节点个数
char[] data; // 存放节点数据
int[][] weight; // 存放边,邻接矩阵
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}
