题目描述

NowCoder每天要给很多人发邮件。有一天他发现发错了邮件，把发给A的邮件发给了B，把发给B的邮件发给了A。于是他就思考，要给n个人发邮件，在每个人仅收到1封邮件的情况下，有多少种情况是所有人都收到了错误的邮件？
即没有人收到属于自己的邮件。

输入描述:
输入包含多组数据，每组数据包含一个正整数n（2≤n≤20）。


输出描述:
对应每一组数据，输出一个正整数，表示无人收到自己邮件的种数。

输入例子:
2
3

输出例子:
1
2
题解

首先先上结论， 我们将当给n个人发邮件时的错排情况数设为D(n)

可以通过分析得到D(n)的递推式为

D(n) = (n - 1) * (D(n - 1) + D(n - 2))

下面是递推式的推导过程

递推式的推导过程

问题：现有10本书按照顺序摆放，现要求重新排列，使得新的书的顺序中每一本书都不在原来的位置，求有多少种排列方式？

这个问题推广一下，就是错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题

OK，现在详细分析这个问题，我们要的最终结果就是书的编号与所在位置的编号不同，在这里，我们把n本书的错排操作数记为D(n)，那n-1本就是D(n-1)，n-2本就是**D(n-2)**啦，下面，我们把放置问题分为两步（初始位置号与书的编号相同）：

第一步：
我们取一本书，书的编号为m，现在这本书就在我们手中，注意，按照题目要求，最开始的时候这本书的位置号也是m号，按照题目要求，我们现在放书时不能放回这个位置m了，而是要选择其他位置，那么有多少种选择呢，想一下，总共有n本书，n个位置，现在我手里这本书不能把它放到位置m，那么剩下的n-1个位置我当然就是随便扔啦，也就是n-1种扔法，好，现在，我选择了位置k，我决定把手里这本书放到位置k这里，记住这个是位置编号k，那么，我肯定要把原来这里的编号为k的书拿出来，再把这本编号为n的书放进去喽。所以，现在我们手里的书的编号是k

第二步：
我们把手里这本编号为k的书本放到书架，注意，放的过程中我们又面临两种情况，可以想到，此时此刻现在书架上编号m的位置是空着的，所以我们可以选择放在这个位置上，书的编号为k，位置编号为m，没错，满足题意，这是第一种情况，还有一种就是我不选择这个空着的位置m，我再重新选择一个新的位置，我们称之为第二种情况，下面详细分析

**第一种情况：我把这本编号为k的书放到这个编号为m的地址，那现在我们面前是什么状况呢，就是位置k和位置m的书交换位置，也就是位置号不等于书号，即满足错排，总共n个位置，我们只动了m和k这两个位置，那么剩下的n-2个位置还是纹丝不动，保持一一对应的关系呢，那么对于剩下的这n-2本书的错排操作，我们又回到了问题的起点，求n-2本的错排操作数D(n-2)，结合第一步，我们可以得到第一种情况总共有(n-1)*D(n-2)**种方法

第二种情况：我们不选择这个空着的位置m啦，我们手持这本编号为k的书，我们从除了位置m以及位置k的剩下的n-2个位置中选择一个位置，OK，我们现在开始想，我手里这本书不能放在这个位置m，嗯嗯，除了第一步我们放置的那本书m不用管了，我们还要搞手里这本和剩下的n-2本，也就是n-1本，同时又要求手里这本k还不能放到位置m，这是不是就相当于把手里这本加上剩下的n-2本也就是n-1本书进行错排呢，哇哇哇，想一想，错排的定义，要求每本书都不能呆在某一个特定位置，是不是刚好符合呢qwq，所以，现在的为题就到了求手里这本和剩下的n-2本总共是n-1本书的错排操作数，我们记为D(n-1)，结合第一步，我们得出这第二种情况共有**(n-1)*D(n-1)**种方法

好的，现在我们总结两种情况，结果进行相加，就可以得到递推公式啦
递推公式为：
D(n)=(n-1)*[D(n-1)+D(n-2)

题解代码

因为题目只要求 n <= 20 的情况， 所以可以先用数组算出前20的错排数； 这里数组的下标和n 一一对应

#include<iostream>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
using namespace std;


int main()
{
#ifdef ONLINE_JUDGE    
#else    
    freopen("1.txt", "r", stdin);    
#endif   
	
	long long int D[21] = {0,0,1,2};   //错排数 数列   
	
	for (int i = 3; i < 21; i++) {
		D[i] = (i-1) * (D[i-1] + D[i-2]);
		//cout << D[i] << endl;
	}
	
	int num = 0;
	
	while (cin >> num) {
		cout << D[num] << endl;    //直接输出对应下标的值即可
	}
}