一、问题描述

当前有 N 件物品和一个容积为 V 的背包。已知第 i 件物品的体积是 ci，价值是 wi​。 由于每种物品有且仅有一件，因此只能选择放或不放，我们称之为 01 背包问题。 现在你需要选出若干件物品，在它们的重量之和不超过 V 的条件下，使得价值总和尽可能大。 对于每个物品是否要装入背包，我们自然可以进行暴力枚举或搜索，但是如果要暴力地去做，那么时间复杂度会非常的高，这时候需要一种更优的算法——动态规划。

二、解法

01背包_空间复杂度
01背包_C_02
01背包_背包问题_03
01背包_C_04
01背包_背包问题_05代码：

for (int i = 1; i <= N; ++i) {
    for (int j = 0; j <= V; ++j) {
        if(j >= c[i]) {
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j - c[i]] + w[i], dp[i - 1][j]);
        } else {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        }
    }
}

时间上是两重循环，时间复杂度为 O(NV)。
空间是二维的，空间复杂度也为 O(NV)。

三、空间优化 O(V)

01背包_时间复杂度_06

for (int i = 1; i <= n; ++i)
    for (int j = v; j >= c[i]; --j) {
        dp[j] = max(dp[j - c[i]] + w[i], dp[j]);
    }