洛谷 P1731 生日蛋糕 dfs + 剪枝

一、内容

二、思路

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三重剪枝

第一重：压缩H,R的区间
由于H，R必须是整数，所以我们可知第一层的最小R为1，第二层为R，第i层为（m - i + 1),所以当i > 1，R的区间等于【m - i + 1, R_i-1 - 1】，R₁的最大值为sqrt(n)，因为当H₁为1的时候
同理： H_i的范围【m - i + 1, H~i - 1~ - 1】, H₁的最大值为n。

第二重：可行性剪枝
v是当前已经得到的体积， 若v+minV（后面层数的最少体积） > V, 那么代表后面搜索可以直接删除。
用vMin数组保存还剩h层时最少的体积和。倒数第一层R,H为1，倒数第二层R，H为2，所以 j³ 求个和。

第三重：最优化剪枝
如果已经搜到了一个答案ans, 而当前搜到的体积为v，面积为s，那么若s + x >= ans,那么也不用再搜索了，这就是最优性剪枝。 那么如何确定x?
x = 2 ∑ j = i m \sum _{j=i}^{m} ∑j=im​ R_j * H_j = 2/R_i ∑ j = i m \sum _{j=i}^{m} ∑j=im​ R_i * R_j * H_j 由于R_i>= R_j
所以x >= 2/R_i ∑ j = i m \sum _{j=i}^{m} ∑j=im​ *R_j * R_j * H_j = 2(V - v) / R_i
故若 s（当前已经搜出的面积） + 2 (V - v) / R_i >= ans 那么可以直接不用搜索了。

最后解释一下为什么从R，H的最大值开始搜:
S = R₁ + 2 ∑ j = 1 m \sum _{j=1}^{m} ∑j=1m​ R_j * H_j
V = ∑ j = 0 m \sum _{j=0}^{m} ∑j=0m​ R_j² * H_j s 所以 V / R_j = ∑ j = 0 m \sum _{j=0}^{m} ∑j=0m​ R_j * H_j
所以当R越大时，S表面积就越小，所以从R,H的最大值开始枚举。

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三、代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a))
int n, m, ans = 0x3f3f3f3f, vMin[16];
void init() {
  //求出后面几层最少的体积 
   for (int i = 1; i <= 15; i++) {
    vMin[i] = vMin[i - 1] + i * i * i;  
   } 
}
void dfs(int h, int s, int v, int lastR, int lastH) {
  if (h == 0) {
    if (v == n) {
      ans = min(s, ans);  
    }
    return; 
  }
  //可行性剪枝 
  if (v + vMin[h] > n) return;
  //最优性剪枝
  if (s + 2 *(n - v) / lastR >= ans) return;

  for (int i = lastR - 1; i >= h; i--) {
    for (int j = lastH - 1; j >= h; j--) {
      if (h == m) {
        //代表是第一层要多一个 Ri*Ri
        dfs(h - 1, s + i * i + 2 * i *j, v + i * i * j, i, j); 
      } else {
        dfs(h - 1, s + 2 * i * j, v + i * i * j, i, j); 
      }
    }
  }
}

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  init();
  dfs(m, 0, 0, sqrt(n) + 1, n + 1);//从还剩m层 面积为0 体积为0  
  ans = ans == 0x3f3f3f3f ? -1 : ans;
  printf("%d", ans);
  return 0;
}