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P3711 仓鼠的数学题（伯努利数）

P3711 仓鼠的数学题有关伯努利数的知识可以看我的上一篇题解链接（写的超详细）

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卷积

伯努利数

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#include

原创 2021-08-27 10:10:21 112 阅读

E. The Child and Binary Tree（生成函数 + 多项式）

E. The Child and Binary Tree不难写出一个递推式fn=∑i=1ngi∑j=0n−ifjfn−i−jf_n

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多项式

生成函数

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#include

原创 2021-08-27 10:10:00 110 阅读

（CCPC 2020 网络选拔赛）HDU 6900 Residual Polynomial（分治 + NTT）

Residual Polynomial写出所有的fi(x)f_i(x)fi(x)出来，fi,jf_{i, j}fi,j表示fi(x)f_i(x)fi(x)的第jjj项系数

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多项式

ide

卷积

ios

原创 2021-08-27 10:09:45 121 阅读

Wannafly挑战赛24 无限手套（生成函数）

无限手套每种宝石的生成函数为∑n≥0xn(ain2+bin+1)对其进行化简∑n≥0xn+∑n≥0binxn+∑n≥0ain2xn11−x+bix(1−x)2+aix(1+x)(1−x)3最后答案

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生成函数

ios

#include

c++

原创 2021-08-27 10:09:27 52 阅读

P4389 付公主的背包（生成函数，多项式exp）

P4389 付公主的背包考虑生成函数有：∏i=1n11−xvi对其取对数得，∑i=1nln⁡11−xviF(x)=11−xv,G(x)=ln⁡F(x)G(x)=∫F′(x)F(x)dxG(x)=∫vxv−11−xvdxG(x)=∫∑n≥0vxvn+v−1dxG(x)=∑n≥0vxvn+vvn+vG(x)=∑n≥0xv(n+1)n+1G(x)=∑n≥1xvnn对于原式:∑i=1n∑j=1∞xvijj\prod_{i = 1} ^{n} \frac{1}{1 - x ^{v_i}}\\对其取对数得，\s

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数组

多项式

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生成函数

原创 2021-08-27 10:07:21 93 阅读

生成函数简单入门

生成函数可表示为F(x)=∑nankn(x)F(x) = \sum\limits_{n} a_n k_n(x)F(x)=n∑ankn(x)，对于不同类型的生成函数，有不同的核函数kn(x)k_n(x)kn(x)。普通生成函数：kn(x)=xnk_n(x) = x ^ nkn(x)=xn。指数生成函数：kn(x)=xnn!k_n(x) = \frac{x ^ n}{n !}kn(x)=n!xn。迪利克雷生成函数：kn(x)=1nxk_n(x) = \frac{1}{n ^ x}kn(x

生成函数

斐波那契

斐波那契数列

模板题

核函数

原创 2021-08-27 10:07:19 279 阅读

多项式模板（inv, sqrt, ln, exp）

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int mod = 998244353, inv2 = mod + 1 >> 1;namespace Quadratic_residue { struct Complex { int r, i; Complex(int _r = 0, int _i = 0) : r(_r), i(_i) {} }; int I2; Complex op

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多项式

数组

ios

#include

原创 2021-08-27 10:07:16 191 阅读

南昌网络赛E Interesting Series

Interesting Series可求得通项Fn=an−1a−1F_n = \frac{a ^ n - 1}{a - 1}Fn=a−1an−1，一个等比数列的前nnn项和，value(s)=Fsum(s)value(s) = F_{sum(s)}value(s)=Fsum(s)。题目要我们求的是Answer(K)=∑s∈subset of S and ∣s∣=Kvalue(s)Answer(K) = \sum\limits_{s \in subset\ o

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ios

#define

生成函数

#include

原创 2021-08-27 10:07:14 93 阅读

牛客练习赛50 F tokitsukaze and Another Protoss and Zerg

tokitsukaze and Another Protoss and Zerg考虑生成函数，每一场的生成函数为∑j=1b[i]Cb[i]j+∑j=1a[i]Ca[i]jxj\sum\limits_{j = 1} ^{b[i]}C_{b[i]} ^ j + \sum\limits_{j = 1} ^{a[i]}C_{a[i]} ^{j} x ^ jj=1∑b[i]Cb[i]j+j=1∑a[i]Ca[i]jxj，进一步化简可得2b[i]−1+∑j=1a[i]Ca[i]jxj2 ^{b[i]} -

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多项式

生成函数

ios

#include

原创 2021-08-27 10:07:10 67 阅读

#3771. Triple（生成函数 + 容斥）

#3771. Triple考虑只有一个损失时，损失值的生成函数为A(x)A(x)A(x)。如果不考虑无序方案，有两个损失的生成函数为B(x)=A(x)A(x)B(x) =A(x)A(x)B(x)=A(x)A(x)，同理有三个的时候C(x)=A(x)A(x)A(x)C(x) = A(x)A(x)A(x)C(x)=A(x)A(x)A(x)。考虑如何得到无序方案：选择两个的时候：ababab的排列有ab,baab, baab,ba两种，我们先减去aa,bbaa, bbaa,bb的然后除以二就是B(x)B

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生成函数

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#include

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原创 2021-08-27 10:07:08 65 阅读

P3978 [TJOI2015]概率论（生成函数）

P3978 [TJOI2015]概率论设fif_ifi表示节点数为iii的二叉树有多少，gig_igi表示节点数为iii的二叉树有多少叶子节点。fn=∑i=0n−1fifn−1−if_n = \sum\limits_{i = 0} ^{n - 1}f_if_{n - 1 - i}fn=i=0∑n−1fifn−1−i，f0=1f_0 = 1f0=1。对于ggg我们枚举根节点的左儿子或者右儿子，有gn=2∑i=0n−1fign−1−ig_n = 2\sum\limits_{i = 0} ^{

生成函数

4s

二叉树

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子节点

原创 2021-08-27 10:07:06 150 阅读

多项式除法，多项式取模

多项式除法给定一个nnn次多项式F(x)F(x)F(x)和mmm次多项式G(x)G(x)G(x)

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多项式

ios

c++

数组

原创 2021-08-27 10:04:46 1541 阅读

分治FFT

分治FFT考虑计算这么一个式子f(i)=∑j=1ifi−jg(j)f(i) = \sum\limits_{j = 1} ^{i} f_{i - j}g(j)f(i)=j=1∑ifi−jg(j)，给定g(x)g(x)g(x)，求f(x)f(x)f(x)

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ios

5e

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边界条件

原创 2021-08-27 10:04:01 126 阅读

多项式牛顿迭代（应用：求逆，开根，对数exp）

多项式牛顿迭代给定多项式g(x)g(x)g(x)，求f(x)f(x)f(x)，满足g(f(x))≡0(modxn)g(f(x)) \equiv 0 \pmod {x ^ n}g(f(x))≡0(modxn)。

多项式

牛顿迭代

边界条件

迭代

原创 2021-08-27 10:03:48 470 阅读

HDU 5730 Shell Necklace（生成函数多项式求逆）

Shell Necklace由题意可得f[n]=∑i=1na[i]f[n−i]f[n] = \sum\limits_{i = 1} ^{n} a[i] f[n - i]f[n]=i=1∑na[i]f[n−i

#include

#define

生成函数

多项式

卷积

原创 2021-08-27 10:03:36 70 阅读

P4705 玩游戏（生成函数，多项式ln）

P4705 玩游戏有ansk=∑i=1n∑j=1m(ai+bj)knm先舍弃nm不管

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多项式

卷积

生成函数

复杂度

原创 2021-08-27 10:03:18 104 阅读

P3338 [ZJOI2014]力（FFT）

P3338 [ZJOI2014]力式子化简Fj=∑i=1j−1qi×qj(i−j)2−∑i=j+1nqi×qj(i−j)2Ei=Fiqi1≤i≤n,求EiF_{j} = \sum_{i = 1} ^{j - 1} \frac{q_i

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多项式

卷积

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#include

原创 2021-08-27 10:00:57 44 阅读

多项式对数函数ln f(x)

多项式对数函数ln⁡f(x)\ln f(x)lnf(x)如果存在解必然有[x0]f(x)=1[ x ^ 0]f(x) = 1[x0]f(x)=1，对ln⁡f(x)\ln f(x)lnf(x)求导

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ios

5e

#include

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原创 2021-08-27 10:00:37 744 阅读

FFT字符串匹配（解决通配符问题）

FFT字符串匹配定义字符串下标从000，开始，有文本串AAA长度为nnn，模式串BBB长度为mmm，我们可以考虑一个函数f(x,y)=A(x)−B(y)f(x, y) = A(x) - B(y)f(x,y)=A(x)−B(y)。我们设F(x)(x≥m−1)=∑i=0m−1f(x−m+1+i,i)F(x)(x \ge m - 1) = \sum\limits_{i = 0} ^{m - 1} f(x - m + 1 + i, i)F(x)(x≥m−1)=i=0∑m−1f(x−m+1+i,i)，由定义显然

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字符串匹配

字符串

复杂度

字符匹配

原创 2021-08-27 09:45:02 244 阅读

快速傅里叶变换（完整推导过程 + 模板）

快速傅里叶变换多项式表示系数表示法：一个nnn次多项式可以用n+1n + 1n+1个系数表示出来：f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1+anxnf(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2 + \dots + a_{n - 1} x ^{n- 1} + a_n x ^nf(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1+anxn。点值表示法：通过线性代数，高斯消元我们可以知道，一个nnn次多项式可以通过n+1n + 1n+1个点联立方程组解得：f(

多项式

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傅里叶变换

系数矩阵

分治

原创 2021-08-27 09:39:47 2060 阅读

#3456. 城市规划（生成函数，多项式求逆）

#3456. 城市规划设fnf_nfn为nnn个点的的点的简单无向连通图数目，gng_ngn为nnn个点的简单无向图个数（不要求联通）。对于gng_ngn显然有gn=2n(n−1)2g_n = 2 ^{\frac{n(n - 1)}{2}}gn=22n(n−1)，共有n(n+1)2\frac{n(n + 1)}{2}2n(n+1)条边，然后每条边可选可不选。我们枚举111所在的点的连通块可得：gn=∑i=1nCn−1i−1fign−i2(2n)=∑i=1n(i−1n−1)fi2(2n−i

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多项式

连通图

连通块

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原创 2021-08-27 09:24:02 67 阅读

HDU 6755 Fibonacci Sum（二次剩余 + 二项式展开）

Fibonacci Sum斐波那契通项有an=15((1+52)n−(1−52)n)(15)k∑i=0n((1+52)ic−(1−52)ic)kA=1+52,B=1−52(15)k∑i=0n∑j=0k(−1)k−jCkjAicjBic(k−j)(15)k∑j=0k(−1)k−jCkj(∑i=0nAcj×iBc(k−j)×i)斐波那契通项有a_n = \frac{1}{\sqrt 5}\left((\frac{1 + \sqrt 5}{2}) ^ n - (\frac{1 - \sqrt 5}{2}) ^

斐波那契

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#include

原创 2021-08-27 09:23:38 47 阅读

导数卷积（NTT）

导数卷积有f(x)=∑i=0n−1ai×xi求g(x)=∑i=0n−1f(i)(x)f(n−i−1)(x)∑i=0n−1∑j=0n−1ai+j(i+j)!j!∑k=0n−1ak+(n−i−1)(k+(n−i−1))!k!设F(n)=an×n!我们单独求解g(x)的第m项，有gm=∑i=0n−1∑j=1d(F(i+j)∗F(n−i−1+d−j))×(1j!∗1(d−j)!)设H(n)=1n!有f(x) = \sum_{i = 0} ^{n - 1}a_i \times x ^ i\\求g(x) = \s

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多项式

卷积

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原创 2021-08-27 09:23:32 154 阅读

伯努利数（详解 + 例题：P3711 仓鼠的数学题）

伯努利数定义Sk(n)=∑i=0n−1ikS_k(n) = \sum\limits_{i = 0} ^{n - 1} i ^ kSk(n)=i=0∑n−1ik。从二项式出发(0+1)k+1=∑i=0kCk+1i0i+0k+1⋮(n−1+1)k+1=∑i=0kCk+1i(n−1)i+(n−1)k+1把次方k+1的移项，再整体相加，得nk+1=∑i=0kCk+1iSi(n)nk+1=∑i=0k−1Ck+1iSi(n)+(k+1)Sk(n)Sk(n)=1k+1(nk+1−∑i=0k−1Ck+1iSi(n

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伯努利数

卷积

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原创 2021-08-27 09:23:30 161 阅读

HDU 6061 RXD and functions（NTT）

RXD and functions首先是有一个结论，对多项式做任意多次 transformation ，其结果跟做一次 transformation Tr(f,∑i=1mai)Tr(f, \sum\limits_{i = 1} ^{m} a_i)Tr(f,i=1∑mai)的结果是一样的，所以我们约定a=−∑i=1maia = -\sum\limits_{i = 1} ^{m} a_ia=−i=1∑mai。g=f(x+a)∑i=0nci(x+a)i∑i=0n∑j=0icii!j!(i−j)!x

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多项式

卷积

ios

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原创 2021-08-27 09:23:24 72 阅读

多项式求逆

多项式求逆f(x)g(x)≡1(modxn)f(x) g(x) \equiv 1 \pmod {x ^ n}f(x)g(x)≡1(modxn)，称f(x)f(x)f(x)为g(x)g(x)g(x)或者g(x)g(x)g(x)为f(x)f(x)f(x)膜xnx ^ nxn意义下的逆元。下面我们讨论给定f(x)f(x)f(x)，求其逆f−1(x)f ^{-1}(x)f−1(x)。

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原创 2021-08-26 17:09:22 335 阅读

多项式全家桶（半）

快速傅里叶变换(FFT)多项式表示系数表示法：一个nnn次多项式可以用n+1n + 1n+1个系数表示出来：f(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1+anxnf(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2 + \dots + a_{n - 1} x ^{n- 1} + a_n x ^nf(x)=a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1+anxn。

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多项式

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原创 2021-08-26 17:09:07 179 阅读

P2012 拯救世界2（指数型生成函数）

P2012 拯救世界2三种基因，我们分别列出其生成函数：F(x)=∑n≥0xnn!=exG(x)=∑n≥0x2n+1(2n+1)!=12(∑n≥0xnn!−

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c++

生成函数

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原创 2021-08-26 16:50:10 96 阅读

HDU 4609 3-idiots（FFT）

3-idiots思路多项式卷积的经典应用了：看样例一:41 3 3 4我们用多项式系数表示得到一个与aia_

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多项式

卷积

ios

c++

原创 2021-08-26 16:49:49 134 阅读

FWT(OR, AND, XOR)（模板）

FWT(OR, AND, XOR)/* Author : lifehappy*/#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1 << 18, mod = 998244353, inv2

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#include

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原创 2021-08-26 16:44:16 91 阅读

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