【证明】相似矩阵的特征值相同

定理 1　若 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的特征多项式相同，从而 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$

证明　因为 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，即有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$， 使
$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} = \boldsymbol{B} \tag{1}$
因为单位矩阵与任何同阶方阵都是可交换的（证明见 “​​​矩阵可交换的定义和性质​​​”），所以有
$\lambda \boldsymbol{E} = \lambda \boldsymbol{E} (\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{P}) = \boldsymbol{P}^{-1} (\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P} \tag{2}$
将 $(1)$ 和 $(2)$ 代入矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征多项式 $|\boldsymbol{B} - \lambda \boldsymbol{E}|$，有
$\begin{align*} |\boldsymbol{B} - \lambda \boldsymbol{E}| & = |\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} - \boldsymbol{P}^{-1} (\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}| \\ & = |\boldsymbol{P}^{-1} (\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{P}| \\ & = |\boldsymbol{P}^{-1}| |(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E})| |\boldsymbol{P}| \\ & = |(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E})| \end{align*}$
所以 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$