【证明】矩阵特征值之积等于矩阵行列式的值

性质 1　设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |\boldsymbol{A}|$。

证明　不妨设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为
$f(\lambda) = |\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = k_0 + k_1 \lambda + \cdots k_n \lambda^n \tag{1}$
因为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是特征方程 $f(\lambda) = 0$ 的 $n$ 个解，所以上式 $(1)$ 可以写成
$f(\lambda) = (\lambda_1 - \lambda)(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda) \tag{2}$
根据韦达定理可知，上式 $(2)$ 中 $\lambda^0$ 的系数 $k_0 = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$。

将 $\lambda$ 代入特征多项式 $f(\lambda)$ 得 $k_0 = |\boldsymbol{A}|$。

综上所述，有
$\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = k_0 = |\boldsymbol{A}|$
得证。