【证明】矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关

定理 1　设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $m$ 个特征值，$\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m$ 依次是与之对应的特征向量，如果 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 各不相等，则 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m$

证明　使用数据归纳法。

当 $m=1$ 时，因特征向量 $\boldsymbol{p}_1 \ne 0$，故只含一个向量的向量组 $\boldsymbol{p}_1$

假设当 $m = k - 1$ 时结论成立，要证当 $m=k$ 时结论也成立。即假设向量组 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_{k-1}$ 线性无关，要证向量组 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_k$ 线性无关。为此，设有
$x_1 \boldsymbol{p}_1 + x_2 \boldsymbol{p}_2 + \cdots + x_{k-1} \boldsymbol{p}_{k-1} + x_k \boldsymbol{p}_k = \boldsymbol{0} \tag{1}$
用 $\boldsymbol{A}$ 左乘上式，得
$x_1 \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_1 + x_2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_2 + \cdots + x_{k-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_{k-1} + x_k \boldsymbol{A} \boldsymbol{p}_k = \boldsymbol{0} \tag{2}$
即
$x_1 \lambda_1 \boldsymbol{p}_1 + x_2 \lambda_2 \boldsymbol{p}_2 + \cdots + x_{k-1} \lambda_{k-1} \boldsymbol{p}_{k-1} + x_k \lambda_k \boldsymbol{p}_k = \boldsymbol{0} \tag{3}$
将 $(3)$ 式减去 $(1)$ 式的 $\lambda_k$ 倍，得
$x_1 (\lambda_1 - \lambda_k) \boldsymbol{p}_1 + x_2 (\lambda_2 - \lambda_k) \boldsymbol{p}_2 + \cdots + x_{k-1} (\lambda_{k-1} - \lambda_k) \boldsymbol{p}_{k-1} = \boldsymbol{0} \tag{4}$
因为根据假设有向量组 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_{k-1}$ 线性无关，所以有
$x_i (\lambda_i - \lambda_k) = 0 \hspace{1em} (i = 1,2,\cdots,k-1)$
因为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 各不相等，即 $\lambda_i - \lambda_k \ne 0 \ (i=1,2,\cdots,k-1)$，所以得
$x_i = 0 \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,k-1) \tag{5}$
将 $(5)$ 式代入式 $(1)$，得
$x_k \boldsymbol{p}_k = \boldsymbol{0}$
因为 $\boldsymbol{p}_k$ 为特征向量，即 $\boldsymbol{p}_k \ne \boldsymbol{0}$，所以 $x_k = 0$。因此有 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m$