特征值和特征向量

前置定理 1　$n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) < n$。

证明见 “​​线性方程组与矩阵的秩​​”。

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定义 1（特征值和特征向量）　设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $\boldsymbol{x}$
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x} \tag{1}$
成立，那么，这样的数 $\lambda$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 特征值，非零向量 $\boldsymbol{x}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的 特征向量。

上式 $(1)$ 也可以写成
$(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$
这是 $n$ 个未知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组，根据前置定理 1 可知，它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 $R(\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}) < n$，即系数行列式
$|\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}| = \begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - \lambda & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} - \lambda \\ \end{vmatrix} = 0 \tag{2}$
上式 $(2)$ 是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 特征方程，其左端 $|\boldsymbol{A} - \lambda \boldsymbol{E}|$ 是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式，记作 $f(\lambda)$，称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 特征多项式。显然，$\boldsymbol{A}$ 的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 在复数范围内有 $n$

性质 1　设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则 $\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$。

证明见 “​​【证明】矩阵的特征值之和等于主对角线元素之和​​”。

性质 2　设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则 $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = |\boldsymbol{A}|$。

证明见 “​​【证明】矩阵特征值之积等于矩阵行列式的值​​”。

由性质 2 可知，$\boldsymbol{A}$ 是可逆矩阵的充分必要条件是它的 $n$

设 $\lambda = \lambda_i$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则由方程
$(\boldsymbol{A} - \lambda_i \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$
可求得非零解 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{p}_i$，那么 $p_i$ 便是 $\boldsymbol{A}$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。（若 $\boldsymbol{i}$ 为实数，则 $\boldsymbol{p}_i$ 可取实向量；若 $\lambda_i$ 为复数，则 $\boldsymbol{p}_i$

性质 3　若 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则 $\lambda^k$ 是 $\boldsymbol{A}^k$

证明见 “​​【证明】矩阵特征值的k次幂是矩阵k次幂的特征值​​”。

根据性质 3 可知，$\varphi(\lambda)$ 是 $\varphi(\boldsymbol{A})$ 的特征值（其中 $\varphi(\lambda) = a_0 + a_1 \lambda + \cdots a_m \lambda^m$ 是 $\lambda$ 的多项式，$\varphi(\boldsymbol{A}) = a_0 \boldsymbol{E} + a_1 \boldsymbol{A} + \cdots + a_m \boldsymbol{A}^m$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$

性质 4　若 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，当 $\boldsymbol{A}$ 可逆时，$\frac{1}{\lambda}$ 是 $\boldsymbol{A}^{-1}$

证明见 “​​【证明】矩阵特征值的倒数是其逆矩阵的特征值​​”。

定理 1　设 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $m$ 个特征值，$\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m$ 依次是与之对应的特征向量，如果 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$ 各不相等，则 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\cdots,\boldsymbol{p}_m$

证明见 “​​【证明】矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关​​”。

推论　设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是方阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同特征值，$\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s$ 和 $\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_t$ 分别是对应于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的线性无关的特征向量，则 $\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_s,\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_t$

证明见 “​​【证明】不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍然线性无关​​”。

上述推论表明：对应于两个不同特征值的线性无关的特征向量组，合起来仍是线性无关的。这一结论对 $m(\ge2)$