线性方程组与矩阵的秩

前置知识：

• 【定义】线性方程组
• 线性方程组的矩阵形式

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设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的线性方程组
$\left\{ \begin{align*} & a_{11} x_a + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ & a_{21} x_a + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_1 \\ & \cdots \\ & a_{m1} x_a + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_1 \\ \end{align*} \right. \tag{1}$
上式可以写成以向量 $\boldsymbol{x}$ 为未知元的向量方程
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} \tag{2}$
定义 1　线性方程组如果有解，就称它是 相容 的；如果无解，就称它 不相容。

利用系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和增广矩阵 $\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})$

定理 2　$n$ 阶线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$

(1) 无解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})$；

(2) 有唯一解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) = n$；

(3) 有无限多解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) < n$。

证明　因为无解、有唯一解和有无限多解这 3 种情况涵盖了所有解的所有可能。所以 1 的必要性，是 2 和 3 的充分性的逆否命题；2 的必要性，是 1 和 3 的充分性的逆否命题；3 的必要性，是 1 和 2 的充分性的逆否命题。因此，只需要以此证明这 3 个条件的充分性即可。

设 $R(\boldsymbol{A}) = r$。不妨设 $\boldsymbol{B} = (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ 的行最简形矩阵为
$\tilde{\boldsymbol{B}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r} & d_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2,n-r} & d_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r} & d_r \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

(1) 若 $R(\boldsymbol{A}) < R(\boldsymbol{B})$，则 $\tilde{\boldsymbol{B}}$ 中的 $d_{r+1} = 1$，于是 $\tilde{\boldsymbol{B}}$ 的第 $r+1$ 行对应矛盾方程 $0=1$，故方程 $(2)$

(2) 若 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = n$，则行最简形矩阵 $\tilde{\boldsymbol{B}}$ 中 $n$ 个非零行的首非零元对应的未知数均不是自由未知数，故方程 $(2)$

(3) 若 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = r < n$，则行最简形矩阵 $\tilde{\boldsymbol{B}}$ 中 $r$ 个非零行的首非零元对应的未知数不是自由未知数，而其余 $n-r$ 个未知数均为自由未知数，故方程 $(2)$

根据定理 2，可得线性方程组理论中两个最基本的定理，分别是

定理 3　$n$ 元齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 有非零解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) < n$。

证明　因为 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$，所以 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})$。

证明充分性。当 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) < n$

证明必要性。当 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) = n$ 时，只有唯一的零解。因此，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 有非零解，则 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B}) < n$。

定理 4　线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b})$。

证明　定理 4 为定理 2 (1) 的逆否命题，得证。

将定理 4 推广到矩阵方程，得到定理和证明如下：

定理 5　矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b}$ 有解的充分必要条件是 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$。

证明　设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $m \times l$ 矩阵，则 $\boldsymbol{X}$ 为 $n \times l$ 矩阵。把 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 按列分块，记为
$\boldsymbol{X} = (\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_l), \hspace{1em} \boldsymbol{B} = (\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l)$
则矩阵方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{B}$ 等价于 $l$ 个向量方程
$\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{b}_i \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,l)$
又，设 $R(\boldsymbol{A}) = r$，且 $\boldsymbol{A}$ 的行最简形矩阵为 $\tilde{\boldsymbol{A}}$，有 $\tilde{\boldsymbol{A}}$ 有 $r$ 的非零行，且 $\tilde{\boldsymbol{A}}$ 的后 $m-r$ 行全为零行。再设
$(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_l) \stackrel{r}{\sim} (\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{b}}_1,\tilde{\boldsymbol{b}}_2,\cdots,\tilde{\boldsymbol{b}}_l)$
从而
$(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_i) \stackrel{r}{\sim} (\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{b}}_i) \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,l)$
依据上述讨论，有如下推论过程：

• 根据上述讨论：$\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b}$$\Leftrightarrow$$\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{b}_i$有解（$i=1,2,\cdots,l$）
• 根据定理 4：$\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_i = \boldsymbol{b}_i$有解$\Leftrightarrow$$R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_i)$（$i=1,2,\cdots,l$）
• $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}_i)$$\Leftrightarrow$$\tilde{\boldsymbol{b}}_i$的后$m-r$个元全为零（$i=1,2,\cdots,l$）
• $\tilde{\boldsymbol{b}}_i$的后$m-r$个元全为零$\Leftrightarrow$$(\tilde{\boldsymbol{b}}_1,\tilde{\boldsymbol{b}}_2,\cdots,\tilde{\boldsymbol{b}}_l)$的后$m-r$行全为零行（$i=1,2,\cdots,l$）
• $(\tilde{\boldsymbol{b}}_1,\tilde{\boldsymbol{b}}_2,\cdots,\tilde{\boldsymbol{b}}_l)$的后$m-r$行全为零行$\Leftrightarrow$$R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{A})$（$i=1,2,\cdots,l$）

综上所述：$\boldsymbol{A} \boldsymbol{X} = \boldsymbol{b}$ $\Leftrightarrow$ $R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{A})$。