【题解】同济线代习题一 9

前置定理 1　行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即
$D= a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + \cdots + a_{in} A_{in} \hspace{1em} (i=1,2,\cdots,n)$
或
$D = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + \cdots + a_{nj} A_{nj} \hspace{1em} (j=1,2,\cdots,n)$

证明见 “余子式和代数余子式的性质”。

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题目

设 $D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -3 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3 \end{vmatrix}$，$D$ 的 $(i,j)$ 元的代数余子式记作 $A_{ij}$，求
$A_{31} + 3 A_{32} - 2 A_{33} + 2 A_{34}$

解答

根据前置定理 1，$A_{31} + 3 A_{32} - 2 A_{33} + 2 A_{34}$ 等于行列式
$$
\begin{align*}
D_1 & = \begin{vmatrix}
3 & 1 & -1 & 2 \
-5 & 1 & 3 & -3 \
1 & 3 & -2 & 2 \
1 & -5 & 3 & -3 \
\end{vmatrix} \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_3} - \begin{vmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
-5 & 1 & 3 & -3 \
3 & 1 & -1 & 2 \
1 & -5 & 3 & -3 \
\end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} r_2 + 5 r_1 \ r_3 - 3 r_1 \ r_4 - r_1 \end{align*}} - \begin{vmatrix}
1 & 3 & -2 & 2 \
0 & 16 & -7 & 7 \
0 & -8 & 5 & -4 \
0 & -8 & 5 & -5 \
\end{vmatrix} \
& =

• \begin{vmatrix}
  16 & -7 & 7 \
  -8 & 5 & -4 \
  -8 & 5 & -5 \
  \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} r_1 \leftrightarrow r_3 \ c_1 \div 8 \end{align*}} 8 \begin{vmatrix}
  -1 & 5 & -5 \
  -1 & 5 & -4 \
  2 & -7 & 7 \
  \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} r_2 - r_1 \ r_3 + 2 r_1 \end{align*}} 8 \begin{vmatrix}
  -1 & 5 & -5 \
  0 & 0 & 1\
  0 & 3 & -3 \
  \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} r_2 \leftrightarrow r_3 \end{align*}} - 8 \begin{vmatrix}
  -1 & 5 & -5 \
  0 & 3 & -3 \
  0 & 0 & 1\
  \end{vmatrix} = 24
  \end{align*}
  $$