矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

前置知识：

• 【定义】矩阵
• 逆矩阵的性质
• 【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

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前置定义 1（矩阵等价）　如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$，就称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 行等价，记作 $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$

证明见 “【定义】矩阵初等变换和矩阵等价”。

前置定理 2　有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。

证明　不妨设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 均可逆，则有 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{-1} = (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}) (\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}) = \boldsymbol{E}$，即 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$

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定义　由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$

（1）对换两行

把单位矩阵中第 $i,j$ 两行对换（或将第 $i,j$ 两列对换），得到初等矩阵
$\boldsymbol{E}(i,j) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & 0 & & \cdots & & 1 \\ & & & & 1 & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ & & & & & & 1 & \\ & & & 1 & & \cdots & & 0 \\ & & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix}$
可以验知：

• 用$m$阶初等矩阵$\boldsymbol{E}_m(i,j)$左乘矩阵$\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n}$，其结果相当于对矩阵$\boldsymbol{A}$施行第一种初等行变换：把$\boldsymbol{A}$的第$i$行与第$j$列对换（$r_i \leftrightarrow r_j$）；
• 用$n$阶初等矩阵$\boldsymbol{E}_n(i,j)$右乘矩阵$\boldsymbol{A}$，其结果相当于对矩阵$\boldsymbol{A}$施行第一种初等列变换：把$\boldsymbol{A}$的第$i$列与第$j$列对换（$c_i \leftrightarrow c_j$）。

（2）以数 $k \ne 0$

以数 $k \ne 0$ 乘单位矩阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列），得到初等矩阵
$\boldsymbol{E}(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & k \\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix}$
可以验知：

• 以$E_m(i(k))$左乘矩阵$\boldsymbol{A}$，其结果相当于以数$k$乘$\boldsymbol{A}$的第$i$行（$r_i \times k$）；
• 以$E_n(i(k))$右乘矩阵$\boldsymbol{A}$，其结果相当于以数$k$乘$\boldsymbol{A}$的第$i$列（$c_i \times k$）。

（3）把某一行所有元的 $k$

以 $k$ 乘单位矩阵的第 $j$ 行加到第 $i$ 行上或以 $k$ 乘单位矩阵的第 $i$ 列加到第 $j$ 列上，得初等矩阵
$\boldsymbol{E}(ij(k)) = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 & \cdots & k\\ & & & \ddots & \vdots\\ & & & & 1 \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix}$
可以验知：

• 以$\boldsymbol{E}_{m}(ij(k))$左乘矩阵$\boldsymbol{A}$，其结果相当于把$\boldsymbol{A}$的第$j$行乘$k$加到第$i$行上（$r_i + k r_j$）；
• 以$\boldsymbol{E}_{m}(ij(k))$右乘矩阵$\boldsymbol{A}$，其结果相当于把$\boldsymbol{A}$的第$i$列乘$k$加到第$j$列上（$c_j + k c_i$）。

根据以上讨论，得到性质如下：

性质 1　设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，对 $\boldsymbol{A}$ 施行一次初等行变换，相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的左边乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $\boldsymbol{A}$ 施行一次初等列变换，相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的右边乘相应的 $n$

观察上述初等矩阵，显然有

性质 2　初等矩阵都是可逆的，且其可逆矩阵是同一类型的初等矩阵。具体地：

• $\boldsymbol{E}(i,j)^{-1} = \boldsymbol{E}(i,j)$；
• $\boldsymbol{E}(i(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(i(\frac{1}{k}))$；
• $\boldsymbol{E}(ij(k))^{-1} = \boldsymbol{E}(ij(-k))$。

根据以上性质，我们得到定理和证明如下：

定理　设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$

1. $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$；
2. $\boldsymbol{A} \stackrel{c}{\sim} \boldsymbol{B}$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$；
3. $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$。

证明　这里证明第 1 条，类似可证明第 2 条和第 3 条。

根据前置定义 1，可知：$\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$；等价于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$。

根据性质 1，可知：矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$；等价于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 左乘有限个 $m$ 阶初等矩阵可以得到 $\boldsymbol{B}$；即存在有限个 $m$ 阶初等矩阵 $\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_l$，使得 $\boldsymbol{P}_l \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$。

因为初等矩阵都是可逆矩阵，根据前置定理 2，可知：存在有限个 $m$ 阶初等矩阵 $\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, \cdots, \boldsymbol{P}_l$，使得 $\boldsymbol{P}_l \cdots \boldsymbol{P}_2 \boldsymbol{P}_1 \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$；等价于存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$。

综上所述，得到 $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$。得证。

上述定理表明，如果 $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$ 则有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}$。下面讨论如何求得这个可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$。

由于 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \Leftrightarrow \begin{cases} \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{P} \boldsymbol{E} = \boldsymbol{P} \end{cases} \Leftrightarrow \boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}) = (\boldsymbol{B}, \boldsymbol{P}) \Leftrightarrow (\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) \stackrel{r}{\sim} (\boldsymbol{B},\boldsymbol{P})$。因此，如果对矩阵 $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E})$ 作初等行变换，那么当把 $\boldsymbol{A}$ 变成 $\boldsymbol{B}$ 时，$\boldsymbol{E}$ 就变成了$\boldsymbol{P}$。于是就得到所求的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$。