Codeforces Round #829 Div. 2 D. Factorial Divisibility(结论&数学)

Codeforces Round #829 Div. 2 D. Factorial Divisibility(结论&数学)

注意$1\le a_i\le x$

显然$a_i=x$没有影响。

那么只需考虑$[1,x-1]$这一部分的和。

注意到：$i!\times (i+1)=(i+1)!$

我们开个数组统计每个$i$的次数。

然后用上面的公式转化。这样保证每个$cnt_i\le i$

考虑$\sum_{i=1}^{x-1}cnt_i\times i!$的最大值。

显然是$cnt_i=i$

那么$\sum_{i=1}^{x-1}i\times i!=\sum (i+1-1)\times i!=(i+1)!-i!$

然后$\sum_{i=1}^{x-1}i\times i!=\max\{\sum cnt_i\times i!\}=x!-1<x!$

那么如果要整除$x!$，显然这个部分要是$x!$的倍数，然后最大值都小于$x!$，所以只能等于0.

然后$O(n)$扫一遍即可。

// Problem: D. Factorial Divisibility
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #829 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1754/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2022-11-11 16:22:51
// --------by Herio--------

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; 
const int N=1e3+5,M=2e4+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = {402653189,805306457,1610612741,998244353};
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define VI vector<int>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr) 
void Print(int *a,int n){
  for(int i=1;i<n;i++)
    printf("%d ",a[i]);
  printf("%d\n",a[n]); 
}
template <typename T>   //x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y){
  if(x<y) x=y;
}
template <typename T>
void cmn(T &x,T y){
  if(x>y) x=y;
}
int main(){
  int n,x;
  IOS;
  cin>>n>>x;
  vector<int>a(x+1);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int y;cin>>y;
    a[y]++;
  }
  int ok  =1;
  for(int i=1;i<x;i++){
    while(a[i]>i){
      a[i]-=i+1;
      a[i+1]++;
    }
    if(a[i]){
      ok = 0;break;
    }
  }
  if(ok)cout<<"Yes";
  else cout<<"No";
  return 0;
}