P1939 【模板】矩阵加速（数列）
矩阵加速的难点就在于构造转移矩阵。
根据题目的提示显然我们的初始矩阵为
[ 1 1 1 ] \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} ⎣⎡111⎦⎤
假设我们当前矩阵需要求的矩阵为 [ a i a i − 1 a i − 2 ] \begin{bmatrix}a_i\\a_{i-1}\\a_{i-2}\end{bmatrix} ⎣⎡aiai−1ai−2⎦⎤
根据递推公式有 { a i = a i − 1 × 1 + a i − 2 × 0 + a i − 3 × 1 a i − 1 = a i − 1 × 1 + a i − 2 × 0 + a i − 3 × 0 a i − 2 = a i − 1 × 0 + a i − 2 × 1 + a i − 3 × 0 \begin{cases}a_i\ \ \ =a_{i-1}\times1+a_{i-2}\times0+a_{i-3}\times1\\a_{i-1}=a_{i-1}\times1+a_{i-2}\times0+a_{i-3}\times0\\a_{i-2}=a_{i-1}\times0+a_{i-2}\times1+a_{i-3}\times0\end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧ai =ai−1×1+ai−2×0+ai−3×1ai−1=ai−1×1+ai−2×0+ai−3×0ai−2=ai−1×0+ai−2×1+ai−3×0
观察可得 [ 1 , 0 , 1 1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 ] \begin{bmatrix}1,0,1\\1,0,0\\0,1,0\end{bmatrix} ⎣⎡1,0,11,0,00,1,0⎦⎤即为状态转移矩阵。
所以答案为
a n s = [ a i a i − 1 a i − 2 ] = [ 1 , 0 , 1 1 , 0 , 0 0 , 1 , 0 ] n − 3 . [ a 1 a 2 a 3 ] ( n > 3 ) ans=\begin{bmatrix}a_i\\a_{i-1}\\a_{i-2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1,0,1\\1,0,0\\0,1,0\end{bmatrix}^{n-3}.\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\quad (n>3) ans=⎣⎡aiai−1ai−2⎦⎤=⎣⎡1,0,11,0,00,1,0⎦⎤n−3.⎣⎡a1a2a3⎦⎤(n>3)
e l s e a n s = [ 1 1 1 ] else\quad ans=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} elseans=⎣⎡111⎦⎤
AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
ll n,t;
struct Mat{
ll a[4][4];
Mat operator * (const Mat & mat)const{ //重载乘号
Mat ans;
memset(ans.a,0,sizeof ans.a);//初始化
for(int i=1;i<=3;i++)
for(int j=1;j<=3;j++)
for(int k=1;k<=3;k++)
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*mat.a[k][j]%mod)%mod;
return ans;
}
}m;
Mat ksm(Mat m,ll x){ //矩阵快速幂板子
Mat ans;
memset(ans.a,0,sizeof ans.a);
ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=ans.a[3][3]=1;
while(x){
if(x&1) ans=m*ans;
m=m*m;
x>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d",&t);
while(t--){
scanf("%d",&n);
if(n<=3){ //特判.防止n-3<=0.
puts("1");
continue;
}
memset(m.a,0,sizeof m.a);
m.a[1][1]=m.a[1][3]=m.a[2][1]=m.a[3][2]=1;//初始化
m=ksm(m,n-3);
ll ans=(m.a[1][1]+m.a[2][1]+m.a[3][1])%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
