注意几件事情：
-
dp数组的每一个元素的值有上限，因为硬币的数值都是正整数，因此需要的硬币数量最多不会超过amount + 1； - 从可以转移的地方开始计算即可；
- 和完全背包问题产生联系。
方法一：动态规划
使用最基本的「动态规划」的思路。
第 1 步：状态定义
dp[i] 表示凑成金额为 i 的最少硬币数。
第 2 步：状态转移方程
根据题目示例 1：coins = [1, 2, 5]，amount = 11。很容易想到：
总金额 11 ，根据可以选择的硬币列表 [1, 2, 5] 可以这样拆解：
-
11 = 1 + (11 - 1)：表示11可以拆成面值为1的 1 个硬币和凑成面值为10的最小硬币数之和； -
11 = 2 + (11 - 2)：表示11可以拆成面值为2的 1 个硬币和凑成面值为9的最小硬币数之和； -
11 = 5 + (11 - 5)：表示11可以拆成面值为5的 1 个硬币和凑成面值为6的最小硬币数之和；
三者取最小值。下面写出状态转移方程：
d p [ i ] = min { 1 + d p [ i − c o i n s [ j ] ] } dp[i] = \min \{1 + dp[i - coins[j]]\} dp[i]=min{1+dp[i−coins[j]]}
这里 j 是硬币列表的序号。注意 i - coins[j] 必须大于等于 0 ，才有意义。
此外，需注意：有两个非常特殊的状态：
-
dp[0]，0这个面值是一个在填表的时候被参考的数值，如果总面值为 5，刚好有个硬币的面值也为 5 ，此时dp[5] = 1 + dp[5 - 5] = 1，故设置dp[0] = 1； - 也有可能出现例 2 的情况，此时需要设置
dp[i] = - 1，这道题问的又是最小值，因此，初始化的时候不能设置为0，应该设置为一个足够大的数。
第 3 步：初始化
（上面已经讨论过了）
第 4 步：输出
输出 dp[amount] 即可。
第 5 步：是否可以空间优化
每一步都有可能用到之前的状态，因此不能压缩。
再次提醒自己：初始化的时候，因为要比较的是最小值，因此不能初始化为 − 1 -1 −1。并且这里 − 1 -1 −1 有专门的含义。
Java 代码：
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 给 0 占位
int[] dp = new int[amount + 1];
// 注意：因为要比较的是最小值，这个不可能的值就得赋值成为一个最大值
Arrays.fill(dp, amount + 1);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
for (int coin : coins) {
if (i - coin >= 0 && dp[i - coin] != -1) {
dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
}
}
if (dp[i] == amount + 1) {
dp[i] = -1;
}
}
if (dp[amount] == amount + 1) {
dp[amount] = -1;
}
return dp[amount];
}
}
可以用“完全背包”的模板。（代码是正确的，原因我还没有想得特别清楚。）
import java.util.Arrays;
public class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, amount + 1);
dp[0] = 0;
for (int coin : coins) {
for (int i = coin; i <= amount; i++) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
}
}
if (dp[amount] == 9999) {
dp[amount] = -1;
}
return dp[amount];
}
}
注意：1、初始化的时候，赋值成一个很大的数就可以了，int 的最大值就有可能造成越界；
2、不要在代码中做打印输出，会拖慢时间。
