本次笔记内容：
4.2.1 什么是平衡二叉树
4.2.2 平衡二叉树的调整
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什么是平衡二叉树
如上图，不同插入次序，将导致生成不同的二叉树。
评价查找长度ASL
找一个元素需要的比较次数的平均值。
对于上图(a)例，ASL(a)=(1+22+33+43+52+6*1)/12=3.5。
平衡因子（Balance Factor，BF）
B F ( T ) = h L − h R BF(T)=h_L - h_R BF(T)=hL−hR
其中，h_L和h_R分别为T的左、右子树的高度。
平衡二叉树（Balanced Binary Tree，AVL树）
- AVL树是三个科学家首字母的简称构成的。
平衡二叉树是空树，或
- 任意结点左、右子树高度差的绝对值不超过1；
- 即 ∣ B F ( T ) ∣ ≤ 1 |BF(T)| \le 1 ∣BF(T)∣≤1。
如上图，平衡二叉树判别。
平衡二叉树的高度能达到log2(n)么？
设 n h n_h nh为高度为h的平衡二叉树的最少结点数，结点数最少时，如下图：
对于这样的平衡二叉树，其组成一定为：根节点+高度为h-1的这样的二叉树+高度为h-2的这样的二叉树。
发现，其类似于斐波那契数列。
因此，数学上证明了平衡二叉树的高度能达到log2(2)。
平衡二叉树的调整
插入数据后，平衡二叉树如何继续保持平衡？
在调整过程中，要保证平衡二叉树依然是搜索树。
RR旋转
如上图，若“麻烦结点”插入在B_R后（可左、可右），则以“发现者”作为根节点进行旋转。
RR旋转的例子如上。
LL旋转
如上图为LL旋转。
LR旋转
如上图，当“破坏者”被插在“被破坏者”的左子树的右子树上，进行LR旋转。为保证二叉搜索树特性，根结点附近结点ABC进行换位。
RL旋转
如上图，当“破坏者”在“被破坏者”的右子树的左子树上，进行RL旋转。
总结
需要旋转的情况离不开上述四种情况。
如上图，需要注意：有时候插入元素即使不需要调整结构，也可能需要重新计算一些平衡因子。
其实现如下（来自feemic）
typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode
{
ElementType Data; /* 结点数据 */
AVLTree Left; /* 指向左子树 */
AVLTree Right; /* 指向右子树 */
int Height; /* 树高 */
};
int Max(int a, int b)
{
return a > b ? a : b;
}
AVLTree SingleLeftRotation(AVLTree A)
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B */
/* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */
AVLTree B = A->Left;
A->Left = B->Right;
B->Right = A;
A->Height = Max(GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right)) + 1;
B->Height = Max(GetHeight(B->Left), A->Height) + 1;
return B;
}
AVLTree DoubleLeftRightRotation(AVLTree A)
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
/* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
/* 将B与C做右单旋，C被返回 */
A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
/* 将A与C做左单旋，C被返回 */
return SingleLeftRotation(A);
}
/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/
AVLTree Insert(AVLTree T, ElementType X)
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
if (!T)
{ /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
T->Data = X;
T->Height = 0;
T->Left = T->Right = NULL;
} /* if (插入空树) 结束 */
else if (X < T->Data)
{
/* 插入T的左子树 */
T->Left = Insert(T->Left, X);
/* 如果需要左旋 */
if (GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == 2)
if (X < T->Left->Data)
T = SingleLeftRotation(T); /* 左单旋 */
else
T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
} /* else if (插入左子树) 结束 */
else if (X > T->Data)
{
/* 插入T的右子树 */
T->Right = Insert(T->Right, X);
/* 如果需要右旋 */
if (GetHeight(T->Left) - GetHeight(T->Right) == -2)
if (X > T->Right->Data)
T = SingleRightRotation(T); /* 右单旋 */
else
T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
} /* else if (插入右子树) 结束 */
/* else X == T->Data，无须插入 */
/* 别忘了更新树高 */
T->Height = Max(GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right)) + 1;
return T;
}
