非线性微分方程的线性化

为什么要进行线性化？

严格的说，几乎所有元件或系统的运动方程都是非线性方程， 即输入、输出和扰动等之间的关系都是非线性的。 ​​非线性微分方程的求解和控制系统性能研究非常复杂，而线性化后的模型可借助叠加原理的性质，简化系统分析。​​ 因此，研究非线性微分方程的线性化具有较强的工程实用价 值。

什么是非线性数学模型的线性化？

在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线 性模型的处理方法。

符合什么条件的系统可以进行线性化呢？

条件1: ​​小偏差理论或小信号理论。​​在工程实践中，控制 系统都有一个额定的工作状态和工作点，当变量在​​工作点​​(如液位保持不变) 附近作小范围的变化时，就满足这个条件。 （这个条件保证线性化的误差足够小。）

条件2: 在工作点附近存在各阶导数或偏导数

如何进行线性化

假设微分方程模型中包含非线性函数$f(x)$如图 所示。设$y=f(x)$，假设系统在工作点$(x0, y0)$, $y0=f(x0)$ 附近变化(条件一)，且在该工作点处各阶导数 均存在（条件二）,

在$(x0, y0)$附近将$y$展开成泰勒级数：

若偏差$Δx=x-x0$很小，可忽略级数中高阶无穷小项，上式化为 :

为了得到线性化的模型，选择输入的偏差$\Delta x=x-x_0$和输出的偏差$\Delta y=f(x)-f(x_0)$为变量，得到​​关于偏差的方程​​

$K$表示$y=f(x)$曲线在$(x0,y0)$处切线的斜率。因此非线性函数在工 作点处可以用该点的切线方程线性化。

线性化方法：

小偏差法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰 勒级数，忽略级数中的高阶项，得到只包含偏差的一次项的线性方程。

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线性化例子：液位流体过程。

如图，Q1为流入量， 也是输入量；Q2为流出量；h为液 位高度，为系统输出；C为液缸的 截面积。

工作点附近做微小变化，满足小偏差理论。

ps:设非线性项设为$F$展开。h0为常数，导数为0

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线性化例2（两个变量）：

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在处理线性化问题时，需要注意以下几点：

• 线性化必须首先确定工作点。
• 在线性化过程中，忽略了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如 果实​​际系统中输入量变化范围较大​​​时，采用小偏差法建立线性 模型必然会​​带来较大的误差。​​
• 线性化后的微分方程通常是增量方程。
• 若描述非线性特性的函数具有间断点（A）、折断点(B)或非单值关系©而 无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来研究。
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