【信号与系统】（五）连续系统的时域分析 —— LTI连续系统的响应

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• LTI连续系统的响应

LTI连续系统的响应

1 连续系统的描述-电路图建立微分方程

数学模型

图示RLC电路，以 u S ( t ) u_S(t) uS​(t)作激励，以 u C ( t ) u_C(t) uC​(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得

抽去具有的物理含义，微分方程写成

相似系统
相似系统：能用相同方程描述的系统。
上例的系统方程为：

也可描述如下的二阶机械减振系统：

其中，$k$为弹簧常数，$M$为物体质量，$C$为减振液体的阻尼系数，$x$为物体偏离其平衡位置的位移，$f(t)$为初始外力。其运动方程为

2 微分方程的模拟框图

基本运算：数乘、微分、相加

基本部件：加法器、数乘器、积分器

积分器的抗干扰性比微分器好，故用积分器逆运算代替微分器。

模拟框图：将微分方程用基本部件的相互联接表征出来的图，简称框图。

LTI特性：

3 微分方程的经典解法

经典解

齐次解是对应齐次微分方程的解：

特解的函数形式与激励的函数形式有关。

齐次解的常用函数形式

特解的常用函数形式

4 连续系统的初始值

初始值是n阶系统在$t=0$时接入激励，其响应在 t = 0 + t=0_+ t=0+​时刻的值，即 y ( j ) ( 0 + ) ( j = 0 , 1 , 2 … ， n − 1 ) y^{(j)}(0_+) (j=0,1,2…，n-1) y(j)(0+​)(j=0,1,2…，n−1)。

初始状态是指系统在激励尚未接入的 t = 0 − t=0_- t=0−​时刻的响应值 y ( j ) ( 0 − ) y^{(j)}(0_-) y(j)(0−​)，该值反映了系统的历史情况，而与激励无关。

为求解微分方程，需要从已知的初始状态 y ( j ) ( 0 − ) y^{(j)}(0_-) y(j)(0−​)求得 y ( j ) ( 0 + ) y^{(j)}(0_+) y(j)(0+​)。

y ′ ′ ( t ) 包 含 δ ( t ) ， 则 y ′ ( t ) y''(t)包含\delta(t)，则y'(t) y′′(t)包含δ(t)，则y′(t)必须要有跃变才能产生$\delta (t)$， ( 因 为 ε ′ ( t ) = δ ( t ) ) (因为\varepsilon'(t)=\delta(t)) (因为ε′(t)=δ(t))，则 y ′ ( 0 + ) ≠ y ′ ( 0 − ) y'(0_+)\not =y'(0_-) y′(0+​)​=y′(0−​)，因为 y ′ ( t ) y'(t) y′(t)不含有$\delta (t)$，因此$y(t)$应不含有阶跃，即应为连续的。

结论：微分方程等号右端含有$\delta (t)$时，仅在等号左端$y(t)$的最高阶导数中含有$\delta (t)$，则$y(t)$的次高阶跃变，其余连续；若右端不含冲激函数，则不会跃变。

5 零输入响应

y ( t ) = y z i ( t ) + y z s ( t ) y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t) y(t)=yzi​(t)+yzs​(t) 分别采用经典法进行求解。
初始值的确定

零状态响应：状态为零时输入产生的响应，加上$-l<0$还没有输入，故 y z s ( j ) ( 0 − ) = 0 y^{(j)}_{zs}(0_-)=0 yzs(j)​(0−​)=0

y z i ( t ) y_{zi}(t) yzi​(t)对应齐次微分方程，故不存在跃变，即：

求解步骤
(1)设定齐次解；
(2)代入初始值，求待定系数。

注意：$t>0$时才成立

6 零状态响应

初始值的确定

求解步骤
(1)设定齐次解；
(2)设定特解，代入方程求解；
(3)代入初始值，求待定系数。

因为零状态，所以 y z s ( 0 − ) = y z s ′ ( 0 − ) y_{zs}(0_-)=y'_{zs}(0_-) yzs​(0−​)=yzs′​(0−​)

$t>0$：因为 y z s ( 0 + ) y_{zs}(0_+) yzs​(0+​)已经把$t=0$的值表示出来了
$t>0$时$\epsilon (t)=1$，激励可以看作 e 0 t e^{0t} e0t，查表得特解为一个常数$P$
（3）代入初始值： y z s ( 0 + ) ， y z s ′ ( 0 + ) y_{zs}(0_+)，y_{zs}'(0_+) yzs​(0+​)，yzs′​(0+​)。 − 4 e 0 + e 0 + 3 = 0 = y z s ( 0 + ) -4e^{0}+e^{0}+3=0=y_{zs}(0_+) −4e0+e0+3=0=yzs​(0+​)，所以$t\ge 0$

7 响应分类

固有响应和强迫响应

固有响应仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式无关。

齐次解的函数形式仅与特征方程的根有关，特征方程的根称为系统的“固有频率”，齐次解常称为系统的固有响应或自由响应。

强迫响应与激励的函数形式有关。

特解的函数形式与激励的函数形式有关，常称为强迫响应。

暂态响应和稳态响应

暂态响应是指响应中暂时出现的分量，随着时间的增长，它将消失。

稳态响应是稳定的分量，若存在，通常表现为阶跃函数和周期函数。比如，电路系统中的直流稳态响应和正弦稳态响应

《工程信号与系统》作者：郭宝龙等
国家精品课程：信号与系统 ，中国大学MOOC，郭宝龙，朱娟娟