在现实世界中，我们的生活受到大量网络的支配。网络流可以表示很多模型，比如管道中的石油、高压线中电流，或者计算机网络中的数据。网络流也可以解决很多问题，比如如何进行道路交通管控，以便有效地缓解早高峰的拥堵；在物流网运输中，在满足供需关系的同时，怎样使渠道成本最低；在轰炸机执行轰炸任务时，怎样才能给敌军补给线造成更严重的打击。这些问题都有现成的网络流算法，别再以为网络流仅仅是网络中的比特流。
网络和流网络
简单地说，流网络是一种有加权边的有向图。在数学中，网络是这样定义的：网络（Networks）G=(V,E,s,t,C) 是一个五元组。其中(V, E)是一个有向图，V是顶点的集合，E是边的集合，它们都是非负实数集；s和t是(V, E)中的两个不同顶点；s的入度为0（没有指向s的边），是G的源点（source）；t的出度为0（没有边从t发出），是G的汇点（sink）；C是容量函数，对于(V, E)中的任意有向边 a，称 C(a)是边 a 的容量（capacity）。对于仅有一个指定的原点s和指定的汇点t的网络，称为st-网。
实际上网络的概念相当直白，我们以一个简单的物理模型直观地解释网络。假设有一组联通的输油管道，管道连接处的中转站设有控制开关。这组管道的源头是一个油田，汇点是一个炼油厂，石油从油田流出，最终汇入炼油厂：
图1
图1是一个带有加权边的有向图，也是一个典型的st-网。其中v1代表油田，是源点s，v6代表炼油厂，是汇点t，其它顶点代表中转站；每条边代表一个输油管道，边上的数字是管道的容量，数字越大，管道越粗，单位时间能够流过管道的油量也越大。把这些信息映射到网络的定义，那么：
输油管道会定期保养，不会产生漏油的情况，更不会平白无故生出石油，因此所有边的容量都是正值，这种所有容量都是正数的st-网称为流网络（Flow Network）。对于流网络来说，顶点没有容量。作为一个枢纽，中转站并不存储石油，只负责通过开关控制石油流动的方向；同样，石油只是流过输油管道，并不会在管道中积累或聚集。
流、网络流和网络流的值
石油将在流网络的管道中流动，这些流动的石油就是流网络中的流。很显然，管道中的石油不能超过管道的宽度。在流网络模型上，流可以看作另一组隐藏的边权值，称为边流。流网络有多条边，当然也有多个流。对于输油网的各个中转站来说，由于没有存储功能，因此流入的中转站的石油等于流出中转站的石油。
这些特点归可以纳出流的定义：一个网络G=(V,E,s,t,C)是流网络，它的一个流是一个函数f，这个函数满足2个条件：
（1）容量限制，对于任意的边 a， 0≤f(a)≤C(a)，即边的流不会大于该边的容量。
（2）守恒定律，对于任意内部顶点v ，进入顶点的流量等于从该顶点发出的流量，简称“流入等于流出”。
作为流网络的源头，没有流入原点的边；类似地，也没有从汇点流出的边。假设石油从油田到炼油厂的传输过程中没有任何损失，那么石油从源点的流出量等于汇点的流入量。
为了方便地展示网络中的流，我们先对网络的表示加以改进，用边的宽度表示边的容量，使宽度和容量成正比，管道越宽，容量也越大：
图2
当石油流过输油管道时，管道将被填充。我们以实心箭头代表石油，填充原来的管道，流的值和管道的容量成正比：
图3
在图3中，边v2→v4的容量是1，流也是1，此时我们说这条边是满边，用星号表示满边的流值。边v1→v3的容量是3，流是1，说明这条管道并没有得到充分利用，实心箭头填充了管道1/3的空间。边v5→v4的容量是1，流是0，v5→v4处的开关是闭合的，这条管道处于闲置状态。
图3也展示了从源点到汇点的所有流，因此我们也称图3是一个网络流（network-flows）。
流网络、流、网络流，看起来极为相似，很多资料中也互相混用，但三者还是有所区别。网络流是指所有容量都是正数的st-网；流代表个体，特指某一条边上的流量；网络流代表整体，表示流网络上所有流的集合。此外，网络流还有另一个含义，指用流网络的模型找出解决问题的方法。网络流的含义究竟是集合还是方法，需要根据具体的上下文而定。通常来讲，这些概念在实际问题中非常直白，不必太过纠结。
源点的流出量或汇点的流入量称为网络流的值。在图8.3中，网络流的值是：
最大流
图3所示的网络流的值是2，在这个网络中是否存在另外一个值更大的网络流？
既然网络流的值取决于源点的流出量会或汇点的流入量，那么只要使源点流出边的容量或汇点流入边的容量充分得到利用，就能能够取得网络流的最大值。这似乎只是一个简单的加法和比较运算：
只要尽全力填满油田的输油管道就好了：
图4
遗憾的是，这种方式是错误的，它忽略了其它边的容量，破坏了“流入等于流出”的守恒定律。以图4为例，C(v2→v4)和C(v3→v5)的总容量是3，不足以容纳5个单位的石油。换句话说，下游的容量制约了上游的生产力。
油田通过两条管道输出石油，其中的一条路径是v1→v2→v4→v6，当f(v1→v2)=1时，v2→v4是满边，它已经被充分利用，根据守恒定律，这条路径上的总流量是1。类似地，另一条路径v1→v3→v5→v6的总流量也是1。别忘了，我们在v5→v4处还有一个开关，打开这个开关，会得到另一条路径v1→v3→v5→v4→v6，这将使更多的管道得到充分利用，此时得到了网络中的最大流，Fmax=3：
基本数据结构
以下是网络流的基本数据结构，后续章节将反复用到并扩充这个结构：
1 class Edge():
2 ''' 边 '''
3 def __init__(self, v_from:int, v_to:int, cap:int, flow=0):
4 '''
5 :param v_from: 起点
6 :param v_to: 终点
7 :param cap: 容量
8 :param flow: 流
9 '''
10 self.v_from, self.v_to = v_from, v_to
11 self.cap, self.flow = cap, flow
12
13 def is_from(self, v):
14 ''' 是否是v顶点的流入边 '''
15 return self.v_from == v
16
17 def is_to(self, v):
18 ''' 是否是v顶点的流出边 '''
19 return self.v_to == v
20
21 def __str__(self):
22 return str(self.v_from) + ' → ' + str(self.v_to)
23
24 class Network():
25 ''' st-网络 '''
26 def __init__(self, V:list, E:list, s:int, t:int):
27 '''
28 :param V: 顶点集
29 :param E: 边集
30 :param s: 原点
31 :param e: 汇点
32 :return:
33 '''
34 self.V, self.E, self.s, self.t = V, E, s, t
35
36 def get_from_edges(self, v):
37 '''
38 获取顶点的流入边
39 :param v: 顶点值
40 :return: 顶点的流入边list
41 '''
42 return [edge for edge in self.E if edge.is_from(v)]
43
44 def get_to_edges(self, v):
45 '''
46 获取顶点的流出边
47 :param v: 顶点值
48 :return: 顶点的流出边list
49 '''
50 return [edge for edge in self.E if edge.is_to(v)]
51
52 def flows_from(self, v):
53 '''v顶点的流入量 '''
54 edges = self.get_from_edges(v) # v的流入边
55 return sum([e.flow for e in edges])
56
57 def flows_to(self, v):
58 '''v顶点的流出量 '''
59 edges = self.get_to_edges(v) # v的流出边
60 return sum([e.flow for e in edges])
61
62 def check(self, s, t):
63 ''' 源点的流出是否等于汇点的流入
64 :param s: 源点
65 :param t: 汇点
66 :return: s流出 = t流入，返回true
67 '''
68 return self.flows_to(s) == self.flows_from(t)
69
70 def display(self):
71 print('%-10s%-8s%-8s' % ('边', '容量', '流'))
72 for e in self.E:
73 print('%-10s%-10s%-8s' % (e, e.cap, e.flow))
74
75 V = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
76 E = [Edge(1, 2, 2), Edge(1, 3, 3), Edge(2, 4, 1), Edge(3, 5, 2),
77 Edge(4, 6, 2), Edge(5, 4, 1), Edge(5, 6, 1)]
78 s, t = 1, 6
79 G = Network(V, E, s, t)
80 G.display()
作者：我是8位的
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