蝴蝶曲线及python实现

导言

接上期，我们在极坐标下用python画了圆，心形线，玫瑰线，阿基米德螺线和双纽线5大常规曲线外，后来发现还漏了好一些漂亮且有意思的的曲线，今天就来讲一讲蝴蝶曲线。

什么是蝴蝶曲线？

蝴蝶曲线是平面上一类代数曲线，最初由美国南密西西比大学特普尔·费伊(Temple H·Fay)发现，因其形状宛如一只翩翩起舞的蝴蝶，故为其取美日“蝴蝶曲线”。

极坐标系下蝴蝶曲线方程为

ρ = e c o s θ − 2 c o s 4 θ + s i n 5 ( θ 12 ) \rho = e^{cos\theta} - 2cos4\theta + sin^5(\frac{\theta}{12}) ρ=ecosθ−2cos4θ+sin5(12θ)

使用参数方程描述为

{ x = ( e c o s θ − 2 c o s 4 θ + s i n 5 ( θ 12 ) ) ∗ c o s θ y = ( e c o s θ − 2 c o s 4 θ + s i n 5 ( θ 12 ) ) ∗ s i n θ \begin{cases} x & = (e^{cos\theta} - 2cos4\theta + sin^5(\frac{\theta}{12}))*cos\theta\\ y & = (e^{cos\theta} - 2cos4\theta + sin^5(\frac{\theta}{12}))*sin\theta \end{cases} {xy​=(ecosθ−2cos4θ+sin5(12θ​))∗cosθ=(ecosθ−2cos4θ+sin5(12θ​))∗sinθ​

画一个最简单的蝴蝶曲线

有了蝴蝶曲线在极坐标下的曲线方程之后，我们就可以进行描点法画出其图形，先从最简单的蝴蝶曲线入手。

import matplotlib.pyplot as plt
import math

thetas =[] #用来存放极角
rhos = [] #用来存放极径

for i in range(-181, 181):
    theta = i*math.pi/180 #角度转弧度
    rho = math.exp(math.cos(theta)) - 2*math.cos(4*theta)+math.pow(math.sin(theta/12), 5) #极径
    thetas.append(theta)
    rhos.append(rho)

fig = plt.figure() #新建画布
plt.polar(thetas, rhos, color = "red") #极坐标画图
plt.title("butterfly")
plt.show()

蝴蝶曲线及python实现_python实现

图1 蝴蝶曲线效果图

画一个优美的蝴蝶曲线

在上一部分我们画出了最简单的蝴蝶曲线，从效果图只能看到大致呈现蝴蝶形状，

通过改变这个方程中的变量θ，可以得到不同形状与方向的蝴蝶曲线。如果再施以复杂的组合和变换，我们看到的就完全称得上是一幅艺术品了。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math

X = [] 
Y = [] 
theta =0

for theta in np.linspace(0, math.pi*20, 10001):
    x = math.cos(theta)*(math.exp(math.cos(theta)) - 2*math.cos(4*theta) + math.pow(math.sin(theta/12),5))
    y = math.sin(theta)*(math.exp(math.cos(theta)) - 2*math.cos(4*theta) + math.pow(math.sin(theta/12),5))
    X.append(x)
    Y.append(y)

fig = plt.figure() #新建画布
plt.plot(Y, X, color = "red", linewidth = 0.2) #极坐标画图
plt.title("butterfly")
plt.show()

蝴蝶曲线及python实现_参考文献_02

图2 优美蝴蝶曲线效果图

后续讨论

自然界的很多现象都可以适当的简化用代数曲线和超越曲线来表达，蝴蝶曲线只是其中一种，后续我们会探索更多有趣有意义的曲线图形。

参考文献

1, 蝴蝶曲线_百度百科 (baidu.com)

2, Python-绘制蝴蝶曲线_一位菜鸡的博客-CSDN博客_python 画蝴蝶

蝴蝶曲线及python实现_python实现_03