类欧几里得算法
这种东西。。。了解了解愉悦一下身心吧。只学了最简单的一种，其他的一坨扩展等哪天心情好了再看。
设\(f(n, a, b, c) = \sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai + b}{c} \rfloor\)
我们要计算的就是\(f(n, a, b, c)\)，如果认为\(n, a, b, c\)同阶的话，我们可以做到\(\log n\)的复杂度
前置知识
一些关于取整的小结论
\(a < \lfloor \frac{b}{c} \rfloor \Leftrightarrow ac < b\)
\(a > \lceil \frac{b}{c} \rceil \Leftrightarrow ac > b\)
\(a \leqslant \lfloor \frac{b}{c} \rfloor \Leftrightarrow ac \leqslant b\)
\(a \geqslant \lceil \frac{b}{c} \rceil \Leftrightarrow ac \geqslant b\)
\(\lfloor \frac{b}{c} \rfloor = \lceil \frac{b-c+1}{c} \rceil\)
\(\lceil \frac{b}{c} \rceil = \lfloor \frac{b+c-1}{c} \rfloor\)
然后就可以推柿子啦
神仙推导
\[\begin{aligned}
f(n, a, b, c) &=\sum_{i=0}^n \lfloor \frac{ai + b}{c} \rfloor\\
&=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{ai + b}{c} \rfloor - 1} 1 \\
&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (j < \lfloor \frac{ai+b}{c} \rfloor)\\
&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (j < \lceil \frac{ai+b-c+1}{c})\\
&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (cj < ai + b - c + 1)\\
&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \sum_{i=0}^n (i > \lfloor \frac{cj-b+c-1}{a} \rfloor)\\
&=\sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} n - \lfloor \frac{cj-b+c-1}{a} \rfloor\\
&=n * \lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor - \sum_{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1} \lfloor \frac{cj-b+c-1}{a} \rfloor\\
&=n * \lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor - f(\lfloor \frac{an+b}{c} \rfloor -1, c, c-b-1, a)
\end{aligned}
\]
然后就能递归算了，每次范围会至少折半，因此复杂度为\(\log n\)
