线段树优化建图

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whiterabbit 2021-08-13 08:49:00

文章标签 权值线段树最短路子节点 git 文章分类 代码人生

前言

今天我打开考试题目一看，发现四道考试题甚至看不出来是什么算法。

于是我听大佬说，这个题啊，是线段树优化建图板子题。很毒瘤的，不搞线段树优化建图就会爆$0$。

我害怕极了，自从我打暴力的水平提高，模拟退火用得越发熟练，玄学预估答案越发准确，我就没爆$0$过了。（至少有20分吧

所以我赶紧开始现学线段树优化建图，希望能在四个小时内学会模板

原理

结合着线段树优化建图模板题来说

题意：

有一个n个节点的有向有权图，现在给出三个类型的边：

从$u$到$v$的一条边权为$w$的边
从$u$到区间$[l,r]$任意一点，都有权值为$w$的边
从区间$[l,r]$任意一点到$u$，都有权值为$w$的边。

简单来说，即单点到单点，单点到区间，区间到单点。

要求求出$1$到其他所有边点的最短路。

首先最短路好想，直接上$dij$。（我不太会$spfa$，但我估计这题不太能用$spfa$）

难的是建图。如果直接暴力建图，真的直接每个点都向整个区间连边的话，空间是不够的

然后就有了线段树优化建图。

出树和入树

假设节点数量为$3$,单点 $3$ 向$[2,3]$连边，权值为$17$。

那么建图应该是这样的：

初始图：

在还没有加边的时候，是这样的：

线段树优化建图_线段树

对于左边这个父亲指向儿子的线段树，叫它出树，对于右边这个儿子指向父亲的树，叫它入树

默认的，两边的对应的叶子节点应该用权值为$0$的无向边连接（接下来就不画了

线段树优化建图_权值_02

单点向区间

接下来，加上这条单点向区间的边，图是这样的：

线段树优化建图_权值_03

因为都是叶子节点所以不明显（所以题目给的什么鬼样例啊）

假设再建一个单点1向区间[1,3]连边，权值为10.

线段树优化建图_git_04

如果要跑这样一条路：$1——>2$

那么就是这样跑的：

线段树优化建图_线段树_05

因为树内部是$0$所以最终的路径长还是10.

区间向单点

同理，如果是区间向单点连边。反过来搞就行了

假设$[1,3]$向$3$连边。并要跑这样一条路：$ 1——>3 $,如下图

线段树优化建图_子节点_06

那如果是区间到区间怎么搞？

区间向区间

[PA2011]Journeys

题意：

有$n$个点和许多双向边，点y用$1~n$编号。

用$( a , b ),( c , d )$ 表示，对于任意两个点$x$，$y$，$（a≤x≤b），（c≤y≤d）$ ,之间有一条边，权值为$1$.

从$P$点出发，求到任意一个国家的最短路。

解题

其实很简单，只要树的区间连树的区间就行了。（之前不是叶子节点连区间嘛）

这个题因为是双向边，所以是~~双向的快乐~~要搞两遍。

又因为是权值都是$1$,就更好搞了（指最短路）

$code$:

//题目：T3 Path
//重构次数：3
//不压行 
#include<bits/stdc++.h>
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
const int N=4e6+105;
int n,m,s,h[N<<1],cnt,tot,d[N],ls[N],rs[N],a,b,c,D,x,y;
int nex[N<<1],to[N<<1],val[N<<1];
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
void add(int x,int y,int z){
to[++cnt]=y;val[cnt]=z;
nex[cnt]=h[x];h[x]=cnt;
}
void build(int &x,int &y,int l,int r){
if(l==r){x=l;y=l;return ;}
if(!x)x=++tot;if(!y)y=++tot;
build(ls[x],ls[y],l,mid);
add(ls[x],x,0),add(y,ls[y],0);
build(rs[x],rs[y],mid+1,r);
add(rs[x],x,0),add(y,rs[y],0);
}//递归建初始树
void A(int p,int l,int r,int x,int y,int z,int f){
if(x<=l &&y>=r){
if(f)add(z,p,0);else add(p,z,0);
return ;
  } 
if(x<=mid)A(ls[p],l,mid,x,y,z,f);
if(mid<y)A(rs[p],mid+1,r,x,y,z,f);
} 
void dij(){
memset(d,0x3f,sizeof(d));
deque<int> q;d[s]=0;q.push_back(s);
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop_front();
for(int i=h[u];i;i=nex[i])
if(d[to[i]]>d[u]+val[i]){
d[to[i]]=d[u]+val[i];
if(val[i])q.push_back(to[i]);else q.push_front(to[i]);
      } 
  } 
}
int main(){
n=read();m=read();s=read();
int rt1=0,rt2=0;tot=n;
build(rt1,rt2,1,n);
while(m--){
a=read();b=read();c=read();D=read();
x=++tot,y=++tot;
add(x,y,1);A(rt1,1,n,a,b,x,0);A(rt2,1,n,c,D,y,1);
x=++tot,y=++tot;
add(x,y,1);A(rt1,1,n,c,D,x,0);A(rt2,1,n,a,b,y,1);
  }
dij();
for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",d[i]);
return 0;
}