Tarjan 是个著名的计算机科学家，他发明了很多算法，在求解图的连通性有关问题时，最著名的应该是割点割边和强连通分量。
什么是割点和割边
在图中去掉这个点和它的所有直接连边，原来联通的图就不联通了，那它就是割点。
在图中去掉这条边，原来联通的图就不联通了，那它就是割边。
非连通图的所有连通块的割点（割边）集合的并是它的割点（割边）集合。
怎么找割点割边
tarjan 算法核心在于 dfs，将图转化为 dfs 树，并记录 dfn（一种dfs序，又名时间戳）。
考虑对图 dfs，dfn[i] 代表 i 节点的访问次序。一次 dfs 下来，由于我们有 if(vis[y])continue; 的判断，所以必然有一些边我们没有走，那那些我们走过的边就必然构成一棵 dfs 树，那些舍弃的边就是 dfs 树中的反向边。
首先，考虑树根。只要树根有多于1个儿子，它就是割点
令 low[i] 表示节点 i 的子树中的节点通过各自的反向边（只走反向边）能够向上回溯到的dfn最小的节点。
想想，\(low[y]\ge dfn[x]\) （y是x的儿子之一）是什么意思？就说明y子树中的节点没有跟x子树外部节点的有效连边。因此，x 就是一个割点。
割边也很好找，因为反向边必然不是割边，因此只要 dfn[y]>x 那边\(x\leftrightarrow y\) 就是割边。且，这时不用特判树根
代码演示（割点）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e4+5;
int dfn[N],low[N];
bool iscv[N],vis[N];
vector<int>G[N];
int ord=0,cnt=0;
void dfs(int x,int rt){
dfn[x]=low[x]=++ord;
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
int y=G[x][i];
if(!dfn[y]){
dfs(y,rt);
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>=dfn[x])iscv[x]=1;
if(x==rt) cnt++;
}
else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
int u,v;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i]){
cnt=0;
dfs(i,i);
if(cnt>1) iscv[i]=1;
else iscv[i]=0;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(iscv[i]) ans++;
cout<<ans<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++) if(iscv[i]) cout<<i<<' ';
}
什么是（有向图的）强连通分量
有向图的一个极大联通子图是它的一个强连通分量。
两个要点：极大，联通。联通好理解，分量中任意两点\(u\to v\) 两两可达。注意！有向图，因此仅仅u可达v,v却不可达u是不可以的；极大：如果一个强连通分量的子连通分量也是一个节点两两可达的子图，那它也不算一个强连通分量，因为还有比他更大且包含它的
怎么找强连通分量
代码其实和割点割边差不太多，做法含义有所不同
同样有low,dfn两个数组，还有一个栈。到达一个点就把它入栈，查看它的所有儿子，如果不是反向边，就递归这个儿子，然后更新low[x]=min(low[x],low[y])。如果是反向边，注意，如果反向边的那一头是一个已经找到强连通分量的点，那就忽略这条边，否则，更新low[x]。一个要点是，只有还没有找到强连通分量的点才在栈中，段末有解答。
当我们查看完所有x的儿子后，我们判断x是不是强连通分量的根。他是一个强联通分量的根当且仅当此时还low[x]=dfn[x]，那么这个强连通分量包含的节点就是x的子树中所有还没找到归属地的节点，这些节点哪里找，就在栈顶到栈中x所在位置的这一个区间，我们把他们收拾起来，然后一一退栈（已经不需要解答了吧）
代码(模板题链接)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5;
int top,ord,Bcnt;
int stk[N],instk[N],dfn[N],low[N];
vector<int>G[N],B[N];
void scc(int x){
dfn[x]=low[x]=++ord;
stk[++top]=x;
instk[x]=1;
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
int y=G[x][i];
if(!dfn[y]){
scc(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if(instk[y])
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
if(dfn[x]==low[x]){
Bcnt++;
while(top){
instk[stk[top]]=0;
B[x].push_back(stk[top]);
top--;
if(stk[top+1]==x)break;
}
sort(B[x].begin(),B[x].end());
if(x!=B[x].front())
B[B[x].front()]=B[x],B[x].clear();
}
}
int main()
{
int n,m,u,v;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
cin>>u>>v;
G[u].push_back(v);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(!dfn[i])
scc(i);
cout<<Bcnt<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!B[i].size())continue;
for(int j=0;j<B[i].size();j++)
cout<<B[i][j]<<' ';
puts("");
}
}
