2.1经验误差与过拟合
基本概念
- 数据集：一个样本的集合。
- 属性、特征：反映样本在某方面的表现和性质，比如人的身高、体重。
- 属性值、特征值：属性上的取值，分为数值型和离散型。
- 维度：属性值或者特征值的数量。
- 特征向量：在由所有样本构成的n维空间中，每一个样本在n维空间中都有一个具体的坐标。
- 学习、训练：从数据中学习得到模型的过程。
- 训练集：训练过程中使用的数据，其中每个样本称为“训练样本”。
- 测试集：测试过程中使用的数据。
- 模型、学习器：训练数据的框架。
- 错误率：在m个样本中有a个分类错误，则错误率E= a/m。
- 精度：1-错误率。
- 误差：学习器在实际预测输出与样本的真实输出之间的差异称为"误差"。
- 训练误差：学习器在训练集上的误差称为训练误差或者经验误差。
- 泛化误差：学习器在测试集上的误差称泛化误差。
- 过拟合：学习器把训练样本学的”太好”，把不太一般的特性学到了，泛化能力下降，对新样本的判别能力差。必然存在，无法彻底避免，只能够减小过拟合风险。
- 欠拟合：对训练样本的一半性质尚未学好。
2.2评估方法
在机器学习算法中，我们通常将原始数据集划分为三个部分：
（1）Training set（训练集）: 训练模型
（2）Validation set（验证集）： 选择模型
（3）Testing set（测试集）： 评估模型
Training set用来计算梯度更新权重，即训练模型。
Validation set用来做模型选择和调参。
Testing set用来评估模型实际使用时的泛化能力。
用一个测试集来测试学习其对新样本的判别能力，然后以测试集上的测试误差作为泛化误差的近似。
在只有一个包含m个样例的数据集D，从中产生训练集S和测试集T。
2.2.1留出法
D分为两个互斥的集合，一个作为S，一个作为T。
分层采样：划分的数据集中样本的类别比列尽可能保持一致，S和T中正例和反例比例一样。
例如D包含500个正例，500反例。分层采样获得含70%样本的S，有350正例，350反例；30%样本的T，有150正例，150反例。
一般采用随机划分、重复进行实验评估后取平均值作为留出法的评估结果。
例如，进行100次随机划分，每次产生一个训练/测试集用于实验评估，100次后得到100个结果，而留出法返回的则是这100个结果的平均。
弊端：T比较小，评估结果不够稳定准确，偏差大。
Andrew NG老师在《Deep learning》课程中对数据集的划分讲解如下：
（a）Previous era of machine learning。数据量为10000左右。如果只是划成训练集和测试集则为：70%验证集，30%测试集。如果划成训练集、验证集和测试集则为：60%训练集，20%验证集，20%测试集。
（b）Big data era：数据量为百万级别。 验证集和测试集占数据总量的比例会趋向变得更小。比如有1000000条数据，只需各拿出10000条作为验证集和测试集。
2.2.2交叉验证法
将D划分为k个大小相似的互斥子集。(D通过分层采样得到每个子集Di,保持数据分布一致性)。每次用k-1个子集的并集作为训练集，余下那个作测试集。即可获得K组训练/测试集，进行K次训练和测试，最终返回k个测试结果的均值。也称”k折交叉验证”。
为减小因样本划分不同而引入的差别，k折交叉验证要随机使用不同的划分重复p次，最终评估结果是这p次k折交叉验证结果的均值，即进行p*k次训练/测试。
交叉验证法优点和缺点：
（a）优点：从有限的数据中尽可能挖掘多的信息，从各种角度去学习我们现有的有限的数据，避免出现局部的极值。在这个过程中无论是训练样本还是测试样本都得到了尽可能多的学习。
（b）缺点：当数据集比较大时，训练模型的开销较大。
2.2.3自助法
从m个样本的数据集D，随机采样(选)一个样本，拷贝入训练D’，放回，继续随机挑选，直至m次。
样本在m次采样中始终不被踩到的概率(1-1/m)^m。
实际评估的模型与期望评估的模型都使用m个训练样本，而仍有约1/3的没有在训练集的样本用于测试。
通过自助采样，初始数据集中约有36.8%的样本未出现在采样集 D′D′ 中。
自助法优点和缺点：
（a）优点：自助法在数据集较小、难以有效划分训练集和测试集时很有用。此外，自助法能从初始数据集中产生多个不同的训练集，这对集成学习等方法有很大的好处。
（b）缺点：自助法产生的数据集改变了初始数据集的分布，这会引入估计偏差。因此在初始数据量足够时，留出法和交叉验证法更加常用一些。
2.3性能度量
性能度量：衡量模型泛化能力的评价标准。
给定样例集D={(x1,y1),(x2,y2),……,(xm,ym)},yi是对xi的真实标记，要评估学习器f的性能，就要把学习器预测结果f(x)与真实标记y进行比较。
均方误差：
数据分布D和概率密度函数p(.),均方误差：
2.3.1错误率与精度
错误率：分类错误的样本数占样本总数的比例。
精度：分类正确的样本数占样本总数的比例。
数据分布D和概率密度函数p(.)。
错误率：
精度：
2.3.2查准率、查全率与F1
二分类
True positive 真正例
False positive 假正例
True negative 真反例
False negative 假反例
TP+FP+TN+FN = 样例总数
①查准率P
查全率R
通常，查准率高时，查全率偏低；查全率高时，查准率偏低。
例如，若希望好瓜尽可能的挑选出来，则可通过增加选瓜的数量来实现，查准率就会低；
若希望挑出的瓜中好瓜比例尽可能高，则可挑选有把握的瓜，必然会漏掉好瓜，查全率就低了。
学习器把最可能是正例的样本排在前面。按此排序，把样本作为正例进行预测，根据PR绘图。
如果一个学习器的PR曲线包住了另一个，则可以认为A的性能优于C。
如果有交叉，如A、B，期望PR双高，综合考虑PR性能。
引入平衡点(BEP)，基于BEP比较，A优于B。
②更常用的是F1度量：
Fβ ：F1的一般形式，能让我们表达对查准率/查全率的不同偏好。
Β>0度量了查全率对查准率的相对重要性；β=1退化为F1；β>1查全率有更大影响；β<1查准率有更大影响。
③在混淆矩阵上分别计算查准率和查全率，在计算平均值，得到宏查准率，宏查全率，以及宏F1。
④将各混淆矩阵的对应元素进行平均，得到TP、FP、TN、FN的平均值，记为
，在计算出微查准率，微查全率，以及微F1。
2.3.3 ROC AUC
最可能是正例的样本排在前面，按此排序。排序中某个截断点，前一部分判断正例，后一部分为反例。不同任务中根据需求划分截断点；重视查准率，靠前位置截断；重视查全率，靠后位置截断。
ROC：纵轴：真正例率TPR；横轴：假正例率FPR
现实中，有限个测试样例绘制ROC，不可能光滑。只能像右图一样。
前一个标记点坐标为(x,y)，当前若为真正例，则标记为；假正例，用线段连接。
若一个学习器的ROC曲线被另一个包住，后者的性能能优于前者；若交叉，判断ROC曲线下的面积，即AUC。
AUC考虑的是样本预测的排序质量，因此它与排序误差有紧密联系。给定m+个正例，m-个反例，令D+和D-分别表示正、反例集合，则排序”损失”定义为
Lrank对应ROC曲线之上的面积：若一个正例在ROC曲线上标记为(x,y)，则x恰是排序在期前的所有反例所占比例，即假正例，因此：
2.3.4代价敏感错误率与代价曲线
代价矩阵：
costij表示将第i类样本预测为第j类样本的代价。
非均等代价下，希望总体代价最小化。
若假设第0类为正类，1为反类。D+代表例集正例子集，D-反例子集，则代价敏感错误率为：
在非均等代价下，ROC不能直接反应出学习器的期望总体代价，代价曲线可以。横轴为[0,1]的正例函数代价
p是样例为正例的概率；纵轴是取值为[0,1]的归一化代价
FPR假正例率，FNR=1-TPR假反例率。
ROC每个点，对应代价平面上一条线。
例如，ROC上(TPR,FPR),计算出FNR=1-TPR，在代价平面上绘制一条从(0,FPR)到(1,FNR)的线段，面积则为该条件下期望的总体代价。所有线段下界面积，所有条件下学习器的期望总体代价。
按照图来看，最终总体代价越来越小。(学习器，不断进步！)
2.4比较检验
默认以错误率为性能度量，用ε表示。
2.4.1假设检验
学习器泛化错误率，并不能测量；只能获知其测试错误率
。泛化错误与测试错误率未必相同，但两者接近的可能性比较大，因此，用后者估推出泛化错误率的分布。
泛化错误为
的学习器在一个样本上犯错的概率是
；测试错误率
意味着在m个测试样本中恰有
*m个被误分类。
包含m个样本的测试集上，泛化错误率为的学习器被测得测试错误率为的概率：
即为
给定测试错误率，则解
可知，
在
时最大，
增大时
减小。符合二项分布。
例如，=0.3，则10个样本中3个被误分类的概率最大。
①我们根据图表粗略估计ε0，比如这幅图当中ε0可取5,6,7都可以，然后求出总体概率α，我们把大多数样本分布的区间1-α称为置信区间，所以只要不超过ε0，即在置信度下就是符合条件的假设 ，否则被抛弃，即在α显著度下。
②t检验
多次重复留出法或是交叉验证法等进行多次训练/测试，得到多个测试错误率。
平均测试错误率μ和方差σ²为
考虑到这k个测试错误率可看作泛化错误率
的独立采样，则变量
服从自由度为k-1的t分布。
当测试错误率均值为时，在1-α概率内观测到最大的错误率，即临界值。
双边假设，阴影部分各有α/2的面积；阴影部分范围为
和
。
若平均错误率μ与之差|μ-|位于临界值
范围内，则可认为泛化错误率为，置信度为1-α；否则，认为在该显著度下可认为泛化错误率与有显著不同。
2.4.2 交叉验证t检验
对不同学习器的性能进行比较。
两个学习器A、B,若使用k折交叉验证法得到的测试错误率分别为
，其中
是在相同的第i折训练/测试集上得到的结果，可用k折交叉验证”成对t检验”来进行比较检验。
，使用相同的训练/测试集的测试错误率相同，两个学习器性能相同。
k折交叉验证产生k对测试错误率：对没对结果求差
；若性能相同则是0。用
，t检验，计算差值的均值μ和方差σ²。
若变量
小于临界值
，则认为两个学习器的性能没有显著差别；否则，可认为两个学习器性能有显著差别，错误平均率小的那个学习器性能较优。
5*2交叉验证
假设检验的前提：测试错误率均为泛化错误率的独立采样。
因样本有限，加查验证不同轮次训练集有重叠，测试错误率实际上不独立，会导致过高估计假设成立的概率。5*2交叉验证，可缓解这一问题。
5*2交叉验证，5次2折交叉验证。A、B第i次2折交叉验证产生两对测试错误率，对它们分别求差，得到第1折上的差值
和第2折上的差值
。为缓解测试错误率的非独立性，仅计算第一次2折交叉验证的结果平均值
。
对每次结果都计算出方差
变量
服从自由度为5的t分布，其双边检验的临界值
。
当α=0.05时为2.5706；α=0.1是为2.0150。
2.4.3 McNemar检验
列联表：估计学习器A、B的测试错误率；获得两学习分类结果的差别，两者都正确，都错误或者一个正确一个错。
若假设A、B学习器起能相同，则应由e01=e10，那么|e01-e10|应服从正态分布。McNemar检验考虑变量
，服从自由度为1的
分布，即标准正态分布变量的平方。给定显著度α，当以上变量值小于临界值
时，认为两学习器性能没有显著差别；否则性能又显著差别。当α=0.05时为3.8415；α=0.1是为2.7055.
2.4.4 Friedman检验与 Nemenyi后续检验
①一组数据集上对多个算法进行比较，基于算法排序的Friedman检验。
假定用D1、D2、D3、D4四个数据集对ABC进行比较，由好到怀排序，并赋予序值1,2，……
性能相同，平均序值应当相同。
假定N个数据集上比较k个算法，令ri表示第i个算法的平均序值。简化考虑不考虑平分均值的情况，则ri的平均值和方差分别为。
变量
在k和N都较大时，服从自由度为k-1的分布。
上述为原始Friedman检验，过于保守，现在通常使用变量
。
其中
由原式得到
。服从自由度为k-1和(k-1)(N-1)的F分布。
若”所有算法的性能相同”这个假设被拒绝，说明算法的性能显著不同。
②Nemenyi后续检验
进行”后续检验”来进一步区分个算法，常用的有 Nemenyi后续检验。
Nemenyi检验计算出平均序值差别的临界值域
下表给出α=0.05和0.1时常用的qα值，若两个算法的平均序值之差超出了临界值域CD，则以相应的置信度拒绝”两个算法性能相同”这一假设。
若大于α=0.05时的F检验临界值5.143，因此拒绝”所有算法性能相同”这个假设；用Nemenyi后续检验，选择k的q，根据式算出CD，可知算法两两之间是否有显著差别。
根据上面表2.5绘制出Friedman检验图。
横轴：平均序列，每个算法用原点表示平均序列，横线表示临界值域大小。从图中观察，若两算法横线段有交叠，说明没有显著差别。例如图中，算法A和B没有显著差别，而算法A优于算法C，无交叠区。
2.5偏差与方差
偏差-方差分解：解释学习算法泛化性能的一种重要工具。
①偏差
对测试样本x，令yD为x在数据集中的标记，y为x的真实标记，f(x;D)为训练集D上学得模型f在x上的预测输出。
以回归任务为例，学习算法的期望预测为
使用样本数相同的不同训练集产生的方差为
噪声为
期望输出与真是标记的差别成为偏差(bias)，即
。
假定噪声期望为0，通过简单的多项式展开合并，可对算法的期望泛化误差进行分解：
即泛化误差可分解为偏差、方差与噪声之和。
范围性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的。
②方差
偏差和方差是有冲突的。
训练不足时，由偏差主导泛化误差；训练充足时，有方差主导泛化误差。
