拉普拉斯变换的引入

  1. 首先能做的，是对周期函数做傅里叶级数展开，使用复数表达为：

    至于为什么能展开成傅里叶级数，工数（高数）并没有说清楚，只给出了一个为加以证明的迪利克雷条件，说只要满足该条件就一定能展开。

    \[f(t) =\sum\limits_{-\infty}^{\infty}c_n e^{jn\omega_0 t}\\ c_n=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t}{\rm d}t \]

    频谱图（\(c_n-n\omega_0\)图）由一个个冲激构成，间隔为\(\omega_0\)

  2. 周期函数的周期增大至无限，则过渡成非周期函数，而\(\omega_0\to0\)​使得原来的离散谱过渡成连续谱：时：

    \[\left\{ \begin{aligned} \lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{1}{T}&=\lim\limits_{\omega_0\to0}\sum\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\omega){\rm d}\omega\\ n\omega_0&\to\omega\\ \lim\limits_{\omega_0\to0}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}h(t){\rm d}t&=\int_{-\infty}^{\infty}h(t){\rm d}t \end{aligned} \right.\\ \begin{aligned} \Rightarrow f(t)&=\lim\limits_{T\rightarrow\infty}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}[\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x)e^{-jn\omega_0 x}{\rm d}x]e^{jn\omega_0 t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{j\omega t}{\rm d}t]e^{j\omega t}{\rm d}\omega\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}{\rm d}\omega \end{aligned} \]

    其中定义了傅里叶变换

    \[F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}{\rm d}t \]

  3. 有一部分增长得太快了的函数，其傅里叶变换不收敛，于是想到了先让它们指数衰减一下，再进行傅里叶变换（或者理解为不再像傅里叶变换那样把它们分解为标准的正弦信号，而是分解成幅度随时间改变的正弦信号\(e^{-\sigma t}\sin(\omega t)\)），于是就得到了拉普拉斯变换

    \[\begin{aligned} \mathcal L[f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-j\omega t}{\rm d}t\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}{\rm d}t\\ &=F(s) \end{aligned} \]

    做进一步的讨论，使拉普拉斯变换收敛的s构成了拉普拉斯变换的收敛域。

    工程应用上多会设置时间零点，此刻以前的事情则不关心，即\(t<0\)时，可以认为\(x(t)=0\)，继而有单边拉氏变换

    \[F(s)=\int^{-\infty}_{0_-}f(t)e^{-st}{\rm d}t \]

    积分下限取\(0_-\)是考虑到\(t=0\)时可能包含冲激信号或其导数。不难发现单边拉氏变换在s平面上都是某个右半平面。

    拉普拉斯反变换的计算式好像用的不多，就不作讨论啦。

性质和常用变换对

从定义出发计算拉氏变换及其逆变换需要做含复数的积分，比较复杂，更多时候还是从性质出发，用性质和常用变换对导出想要的结果。

单变拉普拉斯变换的性质

假设有

\[f(t)\leftrightarrow F(s),\ ROC=R_1=\{{\rm Re}(s)>\sigma_1\}\\ g(t)\leftrightarrow G(s),\ ROC=R_2=\{{\rm Re}(s)>\sigma_2\} \]

则

性质名称 数学表达 收敛域 说明
线性性质 \(af(t)+bg(t)\leftrightarrow aF(s)+bG(s)\) \(R_1\cup R_2\)或者更大 有可能消去极点
时域平移 \(f(t-t_0)u(t-t_0)\leftrightarrow e^{-st_0}F(s)\) \(R_1\) 符号相同
时域尺度变换 \(f(at)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})\) \(\{{\rm Re}(s)>a\sigma_1\}\) 无
时域微分 \(f'(t)\leftrightarrow sX(s)-x(0_-)\) \(R_1\) 注意初态，证明用分部积分
时域高阶微分 \(f^{(n)}(t)\leftrightarrow s^nF(s)-\sum\limits_{i=0}^{n-1}s^{n-1-i}x^{(i)}(0_-)\) \(R_1\) 多次时域微分
时域积分 \(\int_{-\infty}^tf(\tau){\rm d}t\leftrightarrow \frac{1}{s}F(s)+\frac{1}{s}\int_{-\infty}^0f(\tau){\rm d}t\) \(R_1\cup\{{\rm Re}(s)>0\}\) 注意初态，证明用分部积分
时域卷积 \(f(t)*g(t)\leftrightarrow F(s)G(s)\) \(R_1\cup R_2\)或者更大 无
复频域平移 \(f(t)e^{s_0t}\leftrightarrow F(s-\sigma_0)\) \(\{{\rm Re}(s)>\sigma_1+\sigma_0\}\) 符号相反
复频域微分 \(-tf(t)\leftrightarrow F'(s)\) \(R_1\) 多了个负号
初值定理 \(x(0_+)=\lim\limits_{s\to \infty}sX(s)\) 无 书上没证明
终值定理 \(\lim\limits_{t\to\infty}x(t)=\lim\limits_{s\to 0}sX(s)\) 要求\(\sigma_1<0\) 书上没证明

常用拉氏变换对

编号 时域信号 复频域信号 收敛域 可能的推导过程
1 \(\delta(t)\) 1 全平面 从定义出发得到
2 \(\delta(t-t_0)\) \(e^{-st_0}\) 全平面 由1时域平移得到
3 \(\delta^{(n)}(t)\) \(s^n\) 全平面 由1时域微分得到
4 \(u(t)\) \(\frac{1}{s}\) \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) 由1时域积分得到
5 \(u(t-t_0)\) \(\frac{e^{-st_0}}{s}\) \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) 由4时域平移得到
6 \(\frac{1}{n!}t^nu(t)\) \(\frac{1}{s^{n+1}}\) \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) 由4时域积分得到
7 \(e^{pt}u(t)\) \(\frac{1}{s-p}\) \(\{{\rm Re}(s)>p\}\) 由4复频域平移得到
8 \(\frac{e^{pt}t^n}{n!}u(t)\) \(\frac{1}{(s-p)^n}\) \(\{{\rm Re}(s)>p\}\) 由6复频域平移得到
9 \(\sin(\omega_0t)u(t)\) \(\frac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\) \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) 由7和欧拉公式得到
10 \(\cos(\omega_0t)u(t)\) \(\frac{s}{s^2+\omega_0^2}\) \(\{{\rm Re}(s)>0\}\) 由7和欧拉公式得到
11 \(e^{-at}\sin(\omega_0t)u(t)\) \(\frac{\omega_0}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) \(\{{\rm Re}(s)>-a\}\) 由9复频域平移得到
12 \(e^{-at}\cos(\omega_0t)u(t)\) \(\frac{s}{(s+a)^2+\omega_0^2}\) \(\{{\rm Re}(s)>-a\}\) 由10复频域平移得到