逆元和同余方程是差不多的样子
1、exgcd:
同余方程即为求$ax \equiv b (mod\ c)$
令 ax=c(-y)+b,即ax+cy=b,然后解这个方程即可。
2、费马小定理:直接求a^{p-2}即可
这里注意到一点问题,如果模数是$p^x$,$p$是质数,我们可以使用欧拉定理得到逆元
即为$a^{p^{x-1}-1}$,这个思想很重要,当然exgcd都可以求的。
3、中国剩余定理
用于解一组同余方程如下
我们的核心思想是先构造一些数使得$x\equiv 1(mod m1)$ $x\equiv 0 (mod m2)$.....
那么怎么构造呢?我们首先知道这个数一定是$m_2*m_3*...*m_k$的倍数,设$m_2*m_3*...*m_k$为$M_1$,那么$x=tM_1$,于是就可以满足$x\equiv 0 (mod m2)$.....
那么对于第一个条件,由于$M_1$一定和$m_1$是互质的,于是我们只需要令$t=M_1^{-1}$,就可以满足以上条件
接下来让这个数乘$a_1$,就有$x\equiv a_1(mod m1)$了
以此类推我们可以得到$x_1$,$x_2$,$x_3$...
最后我们把这些数加起来,根据同余的美妙性质$(a+b)%p=a%p+b%p$,我们便可以得到答案。
最后答案要记得模$m_1m_2m_3...$这样求出来的才是最小整数解。
为什么?显然)