原题（略有删减）：对于有理数 a、b、n、d，若 |a - n| + |b - n| = d，则称 a 和 b 关于 n 的相对关系值为 d. 若 a0 和 a1 关于 1 的相对关系值为 1；a1 和 a2 关于 2 的相对关系值为 1；a2 和 a3 关于 3 的相对关系值为 1；...；a20 和 a21 关于 21 的相对关系值为 1，则
(1) a0 + a1 的最大值为 ___；
(2) a1 + a2 + a3 + ... + a20 的值为 ____________（用含 a0 的式子表示）.
分析与解： |a - n| + |b - n| = d 的几何意义是数轴上 a 和 b 两个动点到定点 n 的距离之和等于 d. 由此可知，动点 a 离定点 n 的距离不能大于 d，所以 a 最大能取 n + d，最小能取 n - d. 同理，b 最大能取 n + d，最小能取 n - d.
由题设条件，有以下 21 个等式：
|a0 - 1| + |a1 - 1| = 1 【1】
|a1 - 2| + |a2 - 2| = 1 【2】
|a2 - 3| + |a3 - 3| = 1 【3】
...
|a19 - 20| + |a20 - 20| = 1 【20】
|a20 - 21| + |a21 - 21| = 1 【21】
由【1】可知，a0 和 a1 都要 ≥ 0 且 ≤ 2；
由【2】可知，a1 和 a2 都要 ≥ 1 且 ≤ 3；
由【3】可知，a2 和 a3 都要 ≥ 2 且 ≤ 4；
...
由【20】可知，a19 和 a20 都要 ≥ 19 且 ≤ 21；
由【21】可知，a20 和 a21 都要 ≥ 20 且 ≤ 22.
a1 受【1】和【2】的约束，故有 1 ≤ a1 ≤ 2；
a2 受【2】和【3】的约束，故有 2 ≤ a2 ≤ 3；
a3 受【3】和【4】的约束，故有 3 ≤ a3 ≤ 4；
...
a19 受【19】和【20】的约束，故有 19 ≤ a19 ≤ 20；
a20 受【20】和【21】的约束，故有 20 ≤ a20 ≤ 21.
于是，上面的 21 个等式可以展开为：
|a0 - 1| + a1 - 1 = 1
2 - a1 + a2 - 2 = 1
3 - a2 + a3 - 3 = 1
...
20 - a19 + a20 - 20 = 1
21 - a20 + |a21 - 21| = 1
前 20 个等式进一步化简，有：
a1 = 2 - |a0 - 1|
a2 = a1 + 1
a3 = a2 + 1
...
a20 = a19 + 1
于是：
a1 = 2 - |a0 - 1|
a2 = 3 - |a0 - 1|
a3 = 4 - |a0 - 1|
...
a20 = 21 - |a0 - 1|
所以 a1 + a2 + a3 + ... + a20 = 230 - 20|a0 - 1|.
再看 a0 + a1 的最大值. 由题设 a0 和 a1 满足：
|a0 - 1| + |a1 - 1| = 1 【1】
当 a1 取固定某个值时，记 c = 1 - |a1 - 1| ，则有 |a0 - 1| = c，此时 a0 = c + 1 或 -c + 1；因为 c + 1 ≥ -c + 1，所以考察 a0 + a1 的最大值时，只需考虑 a0 = c + 1，即 a0 ≥ 1 的情形.
由上面分析，已知 1 ≤ a1 ≤ 2，因此考察 a0 + a1 的最大值时，只需考虑 a0 ≥ 1 且 a1 ≥ 1 的情形. 此时，【1】可展开为：
a0 - 1 + a1 - 1 = 1
即 a0 + a1 = 3
且有 a0 = 1，a1 = 2 时，满足 a0 + a1 = 3，所以 a0 + a1 的最大值为 3.
附言：
|a - n| + |b - n| = d 的几何意义还可以用数轴上一颗钉子和一根绳子来形象刻画：
一根不能拉长或收缩的绳子，长度为 d，一颗钉子钉在数轴上点 n 的位置，绳子整体在数轴上移动，但被钉子约束了活动范围，即不能脱离开钉子. 绳子的两端对应动点 a 和 b. 以下是几个典型的场景（约定数轴的正向朝东）：
1). 绳子的一端 a 被拉到最东侧，此时 a = n + d，b = n；
2). 绳子的一端 b 被拉到最东侧，此时 b = n + d，a = n；
3). 绳子的一端 a 被拉到最西侧，此时 a = n - d，b = n；
4). 绳子的一端 b 被拉到最西侧，此时 b = n - d，a = n；
5). 绳子的两端 a 和 b 被拉到钉子东侧同一位置，此时 a = b = n + d/2；
6). 绳子的两端 a 和 b 被拉到钉子西侧同一位置，此时 a = b = n - d/2.
比如用拉绳法来形象地看一下 a0 + a1 的最大值问题. 由题设 a0 和 a1 满足：
|a0 - 1| + |a1 - 1| = 1 【1】
相对应地，有一根单位长度的绳子，其上有一颗钉子钉在数轴上数 1 对应的点上， a0 和 a1 是绳子的两端.
为使 a0 + a1 取最大值，直觉是应让 a0 和 a1 都尽量往东靠.
当 a1 被拉到最东侧时，a1 = 2，a0 = 1，有 a0 + a1 = 3；
此时抓住绳子两端让 a0 和 a1 在钉子东侧做拉锯运动，即保持 a0 ≥ 1 和 a1 ≥ 1，于是【1】等价于 a0 + a1 = 3.
事实上，仅限定【1】这一个约束条件，a0 + a1 的最大值依然为 3.
