LaTeX 数学公式梳理

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前言

本文是面向新人（其实是我自己）所写的 LaTeX 的公式梳理，有以下特点：

  1. 不完整。这篇梳理仅仅是节选了参考书籍的第四章的部分内容。
  2. 不规范。书写并不一定规范。
  3. 不一定完全正确。因为加入了不少个人的见解，主要是针对于知识的逻辑方面，有的重新安排了讲解的顺序。

下面解释一下何为不完整。

我们都知道，TeX 就是由基本的编译器和各种宏包构成的。很多功能都是由宏包所提供的。但是问题是这些宏包不一定是通用的。比如排版 LaTeX 的最为常用的宏包 amsmath，这是 LaTeX 的必备宏包，基本上所有地方都是支持它的；而 mathtools 宏包的普及程度就非常低。所以，我仅收集了 基于 amsmath 宏包的拓展，而其他的就不予以关注；而且，书中标注“危险”、“谨慎”、“易错”之类字样的部分，亦未收录。

本文的作用不是用于查询公式、符号的写法，而是建立用 LaTeX 输入公式的相关概念，其中公式和符号，仅用作举数例以辅助理解耳。另外，本文受限于本人的知识水平，也仅收录了部分常用的数学结构、符号等。

再来谈一下本文的作用。同上文言，本文意在建立用 LaTeX 输入公式的相关概念而非公式符号大全。须知此类命令环境宏包数不胜数也，岂我一文能涵盖？岂我一人能总结？初学之时，把握框架，识其大体即可。故本文虽然长，但是也许真正有用的只有目录的部分。（当然学习的过程，少不了基础的讲解和用例子来加深印象。）

另外，本文并没有把公式的完整命令放上来，有人会说这样是不是不方便学习？我要说的是，要学习的人大可以查看本文的 Markdown 源码：https://github.com/xuanhao44/LaTeX-，复制到本地去研究。不学的人，看了源码也是多余，反而觉得看着碍眼。

最后，本文仅由我一初学者所整理，如有纰漏谬误，实属正常。此文也会随我学习之程度而更新。

数学模式和文本模式

行内公式 / 正文数学公式

使用单个美元符号 $...$ 来表示。

交换律是 $ a+b=b+a $，如 $ 1+2=2+1=3 $

行间公式 / 显示数学公式 / 列表公式

使用 \[ ... \] 或者 $$...$$ 来表示。

交换律

\[ a+b=b+a, \]

如

\[ 1+2=2+1=3. \]

虽然书上说用 $$...$$ 不够严谨，应当避免使用，但是大多数的编译器只能识别 $$...$$ 而不能识别 \[ ... \]，比如博客园和 VS Code 自己的 OpenPreview 都是无法识别的。考虑到本身使用的并不是多么严谨的 LaTeX，就还是使用 $$...$$ 了；另外最好把单独占据一行的显示公式放在单独的行内。

数学模式和文本模式混合

数学模式和文本模式不同。数学模式会改变字符字体和间距，还会忽略空格，汉字和西文文本也不能直接输入。

在数学公式中插入汉字：\text{汉字...} 命令

\[ \text{被减数} - \text{减数} = \text{差} \]

数学结构

上标和下标

上标和下标是常见的数学结构。上标可位于符号的右上方或者正上方；下标可位于符号的右下方或者正下方。

单字符和多字符

上标用特殊字符 ^ 表示，下标用特殊字符 _ 表示。

\[ a_0 = 3^2 \]

当上标和下标多于一个字符时，需要使用 {...} 分组确定上下标范围。

\[ A_{ij} = 2^{i+j} \]

式子中的空格（包括单个换行）是没有实际作用的，但是适当的空格可以将代码分隔的好看些。

我建议都使用 {...} 的，毕竟这也很符合编程的规范。

上下标的同时使用和嵌套

同时使用

\[ A_{i}^{k} \]

嵌套

\[ 3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^3}}}} \]

特殊的两种上标

撇号

要注意四点：

  1. 可用符号 \prime 表示
  2. 可以与下标混用
  3. 可以连续使用
  4. 不能与上标直接混用，要加上 {...}

一般撇号

\[ a = a' \]

与下标混用 & 连续使用

\[ b_0' = b_0'' \]

不能与上标直接混用

\[ {c'}^2 = (c')^2 \]

角度

没有直接表示角度的符号，用符号 \circ 的上标表示。

\[ A = 90^\circ \]

其他

在显示公式中，多数数学算子的上下标在正下方或者正上方；

\[ \max_n f(n) = \sum_{i=0}^n A_i \]

但对积分号等个别算子，显示公式中的上下标也在右上右下角。

\[ \int_0^1 f(t) d\ t = \iint_D g(x,y) d\ x d\ y \]

在行内公式中，所有数学算子的上下标都在角标的位置，如将上面一个式子放入行内将得到 $ \max_n f(n) = \sum_{i=0}^n A_i $ 。

上下划线和花括号

上划线：\overline；下划线：\underline

\[ \overline{a+b} = \overline a + \overline b \]

\[ \underline a = (a_0, a_1, a_2, \dots) \]

而且这种结构可以任意嵌套或与其他数学结构组合。

\[ \overline{\underline{\underline a} + \overline{b}^2} - {\underline n} \]

在公式上下加箭头的命令，使用方法与 \overline 和 \underline 没有区别。

上左箭头：\overleftarrow

\[ \overleftarrow{a+b} \]

上右箭头：\overrightarrow

\[ \overrightarrow{a+b} \]

下左箭头：\underleftarrow

\[ \underleftarrow{a+b} \]

下右箭头：\underrightarrow

\[ \underrightarrow{a+b} \]

使用 \overbrace 和 \underbrace 带上花括号。

\[ \overbrace{a+b+c} = \underbrace{1+2+3} \]

还可以使用上下标在花括号上作标注。

\[ ( \overbrace{a_0,a_1,\dots,a_n}^{\text{共 $n+1$ 项}}) = ( \underbrace{0,0,\dots,0}_{n},1) \]

花括号交错暂时不考虑。

分式

分式也是很常见的结构呢。分式用 \frac 分子分母 得到。

\[ \frac 12 + \frac 1a = \frac{2+a}{2a} \]

在行内公式中,分式的分子分母都会用较小的字号排版,以免超出文本行高度。

通分计算 $ \frac 12 +\frac 1a $ 得 $ \frac{2+a}{2a} $

已经在分子或者分母内的公式，也会按行内公式大小排版。

\[ \frac {1}{\frac 12 {(a+b)}} = \frac {2}{a+b} \]

如果还是需要指定较大或者较小的样式，则使用显示样式命令 \dfrac 和 \tfrac。

\[ \tfrac 12 f(x) = \frac {1}{\dfrac 1a + \dfrac 1b + c} \]

连分式使用 \cfrac。还有三个参数 l，c，r表示左中右对齐，并且默认是居中。 并不是所有地方支持，谨慎使用。

注：博客园中可使用，但是 OpenPreview 中无法识别参数。

无参数

\[ \cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{3}{1+x}}} \]

有参数

\[ \cfrac[r]{1}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac[l]{3}{1+x}}} \]

二项式系数

类似分数分成上下两半的数学结构。使用 \binom 来输入二项式系数，其用法和 \frac 相似。

\[ (a+b)^2 = \binom 20 a^2 +\binom 21 ab + \binom 22 b^2 \]

也有指定大小的形式 \tbinom 和 \dbinom。

\[ (a+b)^2 = \tbinom 20 a^2 \tbinom 21 ab + \tbinom 22 b^2 \]

其余类分式数学结构

略。

根式

使用单参数指令 \sqrt 得到，可带一个参数，表示开方次数。

\[ \sqrt 4 =\sqrt[3]{8} =2 \]

嵌套使用根式是相当常见的。

\[ \sqrt[n]{\frac{x^2+\sqrt 2}{x+y}} \]

开方的次数表示若复杂则应使用等价的指数形式。

\[ (x^p+y^q)^{\frac{1}{1/p+1/q}} \]

矩阵和行列式

矩阵环境

矩阵的括号可以是方括号，也可以是圆括号，还可以是大括号,甚至没有括号等等。括号的不同就是矩阵环境的不同。

matrix环境

\[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \]

bmatrix环境

\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]

vmatrix环境

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \]

pmatrix环境

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

Bmatrix环境

\[ \begin{Bmatrix} a & b \\ c & d \end{Bmatrix} \]

Vmatrix环境

\[ \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix} \]

常规表示

不同的列用符号 & 分隔，行用 \\ 分隔。

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix} \]

矩阵中常常使用各种省略号，即 \dots，\vdots，\ddots 等。

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ & \ddots & \vdots \\ 0 & & a_{nn} \end{bmatrix}_{n \times n} \]

分块矩阵

分块矩阵可以理解为矩阵的嵌套。

\[ \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix} & \text{\Large 0}\\ \text{\Large 0} & \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{matrix} \end{pmatrix} \]

矩阵的其他用法

在行内公式中使用很小的矩阵，用的矩阵环境是 smallmatrix 环境。

矩阵在行内表示 \( \begin{smallmatrix} x & -y \\ y & x \end{smallmatrix} \)，但是没有括号。

用 \substack 命令排版列矩阵，用以处理多行内容的插入。

\[ \sum_{\substack{0<i<n \\0<j<i}} A_{ij} \]

或者是用 \subarray 指令，还必须指定对齐方式为 l（左对齐），c（居中），r（右对齐）。

\[ \sum_{ \begin{subarray}{l} i<10 \\ j<100 \\ k<1000 \end{subarray} } X(i,j,k) \]

符号和类型

数学结构是数学公式的骨架，而数学符号是数学公式的骨肉。

数学符号的输入：一小部分符号是可以直接从键盘上输入的，如字母\(a\)，\(b\)，\(x\)，\(+\)，\(=\)，\(()\)；但是大多数符号需要使用 LaTeX 命令来输入。

数学符号总共有 8个类别：普通符号、巨算符、二元运算符、关系符、开符号。闭符号、标点和变量族。

思想准备

虽然我一直在说要避免去涉及到 LaTeX 的粗斜体、字体、字号、间距和行距等细节的问题，但是在符号和类型这一节就不得不去考虑这些问题了。因为这些规定有数学或者物理含义。

字母和普通符号

数学符号的最基本内容就是字母表。

拉丁字母

也就是拉丁字母 \(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(x\)，\(y\)，\(z\)。它们都可以直接从键盘输入，默认使用意大利形状（注意是形状而不是字体/体）。

数学字母可以使用多种字体。使用命令就可以为字母确定字体。

数学环境的默认字体 \mathnormal

\[ ABCHIJXYZabchijxyz12345 \]

意大利体 \mathit

\[ \mathit{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

罗马体 \mathrm

\[ \mathrm{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

粗体 \mathbf

\[ \mathbf{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

无衬线体 \mathsf

\[ \mathsf{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

打字机体 \mathtt

\[ \mathtt{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

手写体 \mathcal

\[ \mathcal{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

花体 \mathscr

\[ \mathscr{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

黑板粗体 \mathbb

\[ \mathbb{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

哥特体 \mathfrak

\[ \mathfrak{ ABCHIJXYZabchijxyz12345 } \]

再就是要明白为什么要使用不同的字体，以及字体之间细微的差别。

比如只有变量使用默认的意大利体；数学常数通常使用直立的罗马体，如数学常数 \(\mathrm{e}\) ，类似的还有虚数单位 \(\mathrm{i}\)。当然这里也只是举了几个很简单的例子。

默认的数学字母字体 \mathnormal 不仅使用了和正文不同的数学字体，而且字母之间的间距比正文也要大。而其他数学字体字母的间距和正文几乎没有区别。所以使用 $xyz$ 通常表示三个字母的乘积（间距较大），而如果要表示一个多字母的长变量名 \(\mathit{xyz}\)，则应该使用 $\mathit{xyz}$ 等形式。

希腊字母

希腊字母同样有大写/小写，也有直立体/倾斜体的区别。不像拉丁字母有统一的字体命令，每个希腊字母都有自己单独的命令。但是命令是有规律可循的，我们就以 \(\pi\) 为例来讲。

首先是 \pi 命令：\(\pi\)，这个是小写的、斜体的，一般用作变量。可以发现命令就是这个希腊字母的读法，是最基础的命令。

再就是 \Pi 命令：\(\Pi\)，这个是大写的希腊字母。在基础的命令上把首字母大写就是大写的命令了。

还有 \varpi 命令：\(\varpi\)。这个是小写希腊字母的变体；还有 \varPi 命令：\(\varPi\)，这个是大写希腊字母的变体。加上 var 的前缀就是变体的命令。

而 \uppi 命令：\(\uppi\)，这个是小写的、直立的，一般用作常数，如圆周率。\uppi 命令需要数学字体宏包 upgreek。可能会有无法显示的情况。

希伯来字母

\aleph 命令：\(\aleph\)

\beth 命令：\(\beth\)

\daleth 命令：\(\daleth\)

\gimel 命令：\(\gimel\)

普通符号

普通符号通常是一些字母的变形、一元运算符或者是单纯的图形符号。这里举几个常见的普通符号。

\infty 命令：\(\infty\)

\angle 命令：\(\angle\)

\bot 命令：\(\bot\)

\triangle 命令：\(\triangle\)

\hbar 命令：\(\hbar\)

\partial 命令：\(\partial\)

\nabla 命令：\(\nabla\)

\forall 命令：\(\forall\)

\exists 命令：\(\exists\)

\varnothing 命令：\(\varnothing\)

\neg 命令：\(\neg\)

数学重音

这里举几个常见的重音。

单字母

\hat a 命令：\(\hat a\)

\bar a 命令：\(\bar a\)

\vec a 命令：\(\vec a\)

\dot a 命令：\(\dot a\)

\hat a 命令：\(\hat a\)

多字母

\widehat{abc} 命令：\(\widehat{abc}\)

数学算子

数学算子分为三种（自定），第一类是巨算子，第二类是单字符算子，第三类是文字名称算子。

巨算子

它们的大小是随显示公式和行内公式变化的，而且通常比一般的数学符号大一些。下面举一些常见的例子。

\sum 命令：\(\sum\)

\int 命令：\(\int\)

\iint 命令：\(\iint\)

\oint 命令：\(\oint\)

\iiint 命令：\(\iiint\)

\prod 命令：\(\prod\)

\bigcup 命令：\(\bigcup\)

\bigcap 命令：\(\bigcap\)

\bigvee 命令：\(\bigvee\)

\bigwedge 命令：\(\bigwedge\)

\bigoplus 命令：\(\bigoplus\)

\bigotimes 命令：\(\bigotimes\)

注意不要把巨算子和形状相似的其他类型符号混淆。典型的例子就是大写希腊字母 \(\Sigma\)（\Sigma）与求和号 \(\sum\)（\sum）。它们在各个方面都有区别。

数学算子通常可以带上下标。在显示公式中，积分号的上下标默认在角标位置，而其他巨算子则在上下方（作为上下限），例如。

\[ \mathcal{F}(x) = \sum_{k=0}^\infty \oint_0^1 f_k(x,t) \,\mathrm{d}t \]

单字符算子

积分式的写法。微分算子 \(\mathrm{d}\) 应该使用直立罗马体，后面的变量则仍是使用默认的意大利体，并且用 \, 与前面的被积函数分开。

\[ \int f(x) \,\mathrm{d} x \]

但是一般不添加单字符算子和变元之间的间距。不过微分与被积函数、多个微分变元之间，仍然需要留有间距。

\[ \iiint\limits_{0<x,y,z<1} f(x,y,z) \,\mathrm{d} x \,\mathrm{d} y \,\mathrm{d} z \]

这类只有一个字符的数学算子，还有 Laplace 算子 \(\triangle\) （大写希腊字母 \Delta，也可用 \triangle）、偏微分算子 \(\partial\) （\partial）、梯度算子 \(\nabla\)（\nabla）等一般都只作为一个普通数学符号排版，没有提供额外的间距，需要自己添加。

文字名称算子

文字名称算子用直立罗马体排印，如 \(\log x\)，\(\lim f(t)\) 中的 \(\log\) 和 \(\lim\)。

前者是不带上下限的“纯”算子，一般就是常用的数学函数。其上标是角标形式。

\log 命令：\(\log\)

\lg 命令：\(\lg\)

\ln 命令：\(\ln\)

\sin 命令：\(\sin\)

\cos 命令：\(\cos\)

\tan 命令：\(\tan\)

\csc 命令：\(\csc\)

\sec 命令：\(\sec\)

\cot 命令：\(\cot\)

\arcsin 命令：\(\arcsin\)

\arccos 命令：\(\arccos\)

\arctan 命令：\(\arctan\)

\sinh 命令：\(\sinh\)

\cosh 命令：\(\cosh\)

\tanh 命令：\(\tanh\)

\coth 命令：\(\coth\)

带上下限的数学算子，使用起来和巨算子相似。

\lim 命令：\(\lim\)

\max 命令：\(\max\)

\min 命令：\(\min\)

\inf 命令：\(\inf\)

\gcd 命令：\(\gcd\)

\det 命令：\(\det\)

\[ \varlimsup_{k\to\infty} A_k = \lim_{J\to\infty} \lim_{K\to\infty} \bigcap_{j=1}^J \bigcup_{k=j}^K A_k \]

取模和同余

略。

二元运算符和关系符

首先说一下什么是二元运算符和关系符。常见的，能从键盘上直接输入的二元运算符有加号 \(+\)，减号 \(-\)，星号 \(*\)；二元关系符有等号 \(=\)，大于号 \(>\)，小于号 \(<\) 和表示集合的关系的符号 \(:\) 。

它们和普通符号是有区别的，在公式使用中会产生间距。比如斜线形式的除号 \(/\) 并不是二元运算符，只是普通符号，即使表示除法也不额外增加间距；表示差集的符号 \setminus 与普通符号 \backslash 是同一个字符，但类型不同，因而会产生不同的间距，见下面的例子。

\[ H\backslash G \text{和} H\setminus G \]

二元运算符和关系符有不同和相同的地方。它们都用在公式中间，在符号的两边留有一定的间距。运算符的间距小一些，关系符的间距略大一些，例如。

\[ 0-2=-2 \]

都是一样的符号却产生了不同的间距。原因是左边的是减号，是运算符，而右边的是负号，是关系符。当然在大多数情况下，我们不需要去关注这些 LaTeX 会自动处理的细节。

二元运算符

下面列举常见的二元运算符。

\times 命令：\(\times\)

\div 命令：\(\div\)

\pm 命令：\(\pm\)

\mp 命令：\(\mp\)

\circ 命令：\(\circ\)

\wedge 或 \land 命令：\(\wedge\)

\vee 或 \lor 命令：\(\vee\)

\cup 命令：\(\cup\)

\otimes 命令：\(\otimes\)

\oplus 命令：\(\oplus\)

二元关系符

二元关系符是 LaTeX 中数量最为庞大的一类数学符号：除了有普通的二元关系符及它们的否定形式外，关系符中各种箭头通常也单独列为一类。

一般地，二元关系符的否定可以在关系符前加 \not 得到，如使用 $s\not\in T$ 就得到：

\[ s\not\in T \]

此外，LaTeX 也为很多二元关系符的否定形式单独定义了命令，单独定义的命令有时会使用单独的字体符号，比直接使用 \not 得到的效果更好，如使用 $s \notin T$ 就得到：

\[ s \notin T \]

斜线的位置更加合理一些。因此在使用否定的二元关系符的时候，应该尽量使用单独的符号命令，在没有单独的符号的时候，才使用 \not 组合符号。

下面列举常见的二元关系符。

\because 命令：\(\because\)

\therefor 命令：\(\therefore\)

\subseteq 命令：\(\subseteq\)

\neq 或 \ne 命令：\(\neq\)

\leq 或 \le 命令：\(\leq\)

\geq 或 \ge 命令：\(\geq\)

\ll 命令：\(\ll\)

\gg 命令：\(\gg\)

\in 命令：\(\in\)

\notin 命令：\(\notin\)

\ni 或 \owns 命令：\(\ni\)

\equiv 命令：\(\equiv\)

\sim 命令：\(\sim\)

\approx 命令：\(\approx\)

\simeq 命令：\(\simeq\)

\cong 命令：\(\cong\)

\subset 命令：\(\subset\)

\supset 命令：\(\supset\)

\subseteq 命令：\(\subseteq\)

\supseteq 命令：\(\supseteq\)

\perp 命令：\(\perp\)

\parallel 命令：\(\parallel\)

下面列举常见的箭头符号。基本上都是 \arrow 的变体。

单、双向箭头

\leftarrow 或 \gets 命令：\(\leftarrow\)

\rightarrow 或 \to 命令：\(\rightarrow\)

\leftrightarrow 命令：\(\leftrightarrow\)

首字母大写

\Leftarrow 命令：\(\Leftarrow\)

\Rightarrow 命令：\(\Rightarrow\)

\Leftrightarrow 命令：\(\Leftrightarrow\)

上面箭头的加长形式：加 long（举出一例）（双杠仍然是首字母 L 大写）

\Longrightarrow 命令：\(\Longrightarrow\)

上面箭头的否定形式：加 n（仅举一例）

\nRightarrow 命令：\(\nRightarrow\)

可逆箭头

\rightleftharpoons 命令：\(\rightleftharpoons\)

上下箭头

\uparrow 命令：\(\uparrow\)

\downarrow 命令：\(\downarrow\)

\updownarrow 命令：\(\updownarrow\)

首字母大写

\Uparrow 命令：\(\Uparrow\)

\Downarrow 命令：\(\Downarrow\)

\Updownarrow 命令：\(\Updownarrow\)

斜向箭头

\nearrow 命令：\(\nearrow\)

\searrow 命令：\(\searrow\)

\swarrow 命令：\(\swarrow\)

\nwarrow 命令：\(\nwarrow\)

这组命令很有规律。

  • 东南 -> south-east -> se
  • 东北 -> north-east -> ne
  • 西北 -> north-west -> nw
  • 西南 -> south-west -> sw

添加说明的可延长箭头

使用 \xleftarrow 和 \xrightarrow 命令，可以在上下方添加说明，参数是上方说明，可选参数是下方说明。

\[ A \xleftarrow{0<x<1>} B \xrightarrow[x \leq 1]{x \geq 1} C \]

逻辑符号命令

使用 \iff，\implies，\impliedby，\And 命令用于逻辑表达式。符号和一般的箭头相同，但是间距比一般的运算符和关系符大一些，意义也更明显。

\iff 命令：\(\iff\)

\implies 命令：\(\implies\)

\impliesby 命令：\(\impliedby\)

\And 命令：\(\And\)

一个例子。

\[ x=y \implies x+a=y+a \\ x=y \impliedby x+a=y+a \\ x=y \iff x \le y \And x \ge y \]

括号和定界符

括号

数学公式离不开括号的使用。括号种类大致有圆括号 \((\,)\)、方括号 \([\,]\)、花括号 \(\{\,\}\)、尖括号 \(\langle\,\rangle\) 等等。在 LaTeX 中，括号被分为开括号和闭括号，显然，开括号是左边的括号，闭括号是右边的括号。

能从键盘上直接输入的符号有圆括号 \((\,)\)、方括号 \([\,]\)、花括号 \(\{\,\}\)，其余均有用命令输入。

尖括号：\langle 和 \rangle 命令：\(\langle\, \And \,\rangle\)

向下取整：\lfloor 和 \rfloor 命令：\(\lfloor\, \And \,\rfloor\)

向上取整：\lceil 和 \rceil 命令：\(\lceil\, \And \,\rceil\)

定界符

定界符的概念更为广泛。定界符通常就是公式两侧的括号，但也有时表示其他的符号。定界符有一个特别有用的性质，就是它可以按需要改变大小。

使用 \left 和 \right 命令得到的。它们分别把作为其参数的定界符转换为开符号和闭符号，同使得定界符可以按中间的内容的高度自动调节大小。

\[ \partial_x \partial_y \left[ \frac 12 \left( x^2+y^2 \right)^2 + xy \right] \]

\left 和 \right 命令用来配对的定界符可以不是同一种符号，甚至可以用一个句号 \(.\) 表示空的定界符。例如：

\[ \left. \int_0^x f(t,\lambda) \,\mathrm{d}t \right|_{x=1}, \qquad \lambda \in \left[\frac 12,\infty\right). \]

还有一个 \middle 命令，它可以在 \left 和 \right 的中间再加一个定界符，如：

\[ \Pr \left( X>\frac 12 \middle \vert Y=0 \right) =\left. \int_0^1 p(t) \,\mathrm{d}t \middle/ (N^2+1) \right. \]

手动调整定界符略。

标点

数学标点

数学标点只有 5个。逗号、分号、叹号、问号和冒号，前面四个都可以从键盘上输入，冒号的命令是：\colon，注意它和直接从键盘上输入的二元关系符 \(:\) 的区别（略，因为用的不多）。

键盘上的圆点 \(.\) 在数学公式中是普通符号，通常表示为小数点。不过在显示公式的末尾也常常用它表示句号，在行末无须为后面的间距问题困扰。

数学省略号

省略号并不属于 TeX 的数学标点类型，但确是公式中常用的标点符号。

在数学公式中，水平的省略号有两种：

  1. 圆点在基线位置的 \ldots (\(\ldots\))
  2. 圆点在中间位置的 \cdots (\(\cdots\))

位置较低的 \ldots 主要用在逗号之间，如：

\[ (1,\cdots,n) \]

位置在中间的 \cdots 则用在二元运算符、关系符之间，如：

\[ 1+\cdots+n \]

或者表示没有乘号的连乘积，如：

\[ a_1 \cdots a_n \]

或者连接多个积分号，如：

\[ \int_0^1 \cdots \int_0^1 \]

下面给出其他省略号的命令。

首先是不同方向的省略号，多用于排版矩阵。

\vdots 命令：\(\vdots\)

\ddots 命令：\(\ddots\)

再是依照具体情形设定的省略号类型，分别是：

逗号（comma）：\dotsc 命令：\(\dotsc\)

二元运算或关系符（binary）：\dotsb 命令：\(\dotsb\)

乘法运算（multiplication）：\dotsm 命令：\(\dotsm\)

积分（integral）：\dotsc 命令：\(\dotsi\)

其他情形（other）：\dotso 命令：\(\dotso\)

虽然 \dots 有一定的自动识别功能，但是在 \dots 无法正常识别的时候就可以使用上面的命令，如连乘和积分：

\[ \prod_{i=1}^n a_i = a_1 \dotsm a_n \qquad \int_0^1 \dotsi \int_0^1 \]

多行公式

我们经常会遇到线性方程组、分段函数、以及非常长的公式。下面来探究如何用显示公式来表示它们。

多个公式

输入多行数学公式最基本的方法是：使用 gather 和 gather* （不编号）环境，使用 \\ 换行，如：

gather 环境：

\[ \begin{gather} a+b = b+a \\ a \times b = b \times a \end{gather} \]

gather* 环境：

\[ \begin{gather*} 3+5 = 5+3 = 8 \\ 3 \times 5 = 5 \times 3 \end{gather*} \]

gather 环境得到的公式是每行居中的，align 和 align* 环境则允许公式按等号或者其他关系符对齐，在关系符前加 & 表示对齐。例如：

\[ \begin{align} x &= t + \cos t + 1 \\ y &= 2 \sin t \end{align} \]

align 和 align* 环境还允许排列多列对齐的公式，列与列之间仍使用 & 分隔：

\[ \begin{align*} x &= t & x &= \cos t & x &= t \\ y &= 2t & y &= \sin(t+1) & y &= \sin t \end{align*} \]

需要注意的是，align 环境中的列分隔符 & 一般应该放在二元关系符的前面，但有时候也可以放在后面。如果个别需要在关系符后面或其他地方对齐的，则应该注意使用的符号类型。下面举一个连等公式的例子。

实话说这个例子记住就好了。关系符后对齐，需要使用空的分组代替关系符右侧符号，保证间距。

\[ \begin{align*} & (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ ={} & a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 +b^2 \\ ={} & a^3 + b^3 \end{align*} \]

拆分单个公式

首先是 \multline 环境和 \multline* 环境，可使用 \\ 换行。各行对齐的方式是：第一行左对齐，最后一行右对齐，中间的部分居中。不过左右两边和版心边界都留有一小段间距。这种环境特别适合排版非常长的连续运算，如：

\[ \begin{multline} a+b+c \\ +d+e+f \\ +j+k+l \end{multline} \]

给多行公式只产生一个编号要使用 \split 环境。\split 环境并不开始一个数学公式，它是使用在 equation、gather 等数学环境里的；\split 环境不产生编号，编号仍然由外面的数学环境产生。因此多行公式只产生了一个编号。

\[ \begin{equation} \begin{split} \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x \\ &= 2\cos^2 x - 1 \end{split} \end{equation} \]

将公式组合成块

最为常见的是 \cases 环境，它在几行公式前面用花括号括起来，用来表示几种不同的情况。每行公式使用 & 分隔为两部分，通常表示值和后面的条件，例如：

\[ \begin{equation} D(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in \mathbb{Q}; \\ 0, & \text{if } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}. \end{cases} \end{equation} \]

还有几个常见的组合公式块的环境，它们的环境名通常是在原来的环境名的动词后面加 ed，包括 gathered 环境、aligned 环境和 alignedat 环境等。

gathered 环境把几行公式居中排列，组合为一个整体，如：

\[ \left. \begin{gathered} S \subseteq T \\ S \supseteq T \end{gathered} \right\} \implies S = T \]