简介
长链剖分与轻重链剖分类似，只是将重儿子判定由子树大小变为子树深度，对于一些树上 \(\texttt{DP}\)，例如 \(f_{u,i}=f_{v,i+1}\)，通过指针令 \(f_v=f_u+1\)，可以快速实现轻重儿子间状态转移。
CF1009F
Description
给定一棵 \(1\sim n\) 的树。设 \(d(u,x)\) 为 \(u\) 子树中到 \(u\) 距离为 \(x\) 的节点数。
对于每个点，求一个最小的 \(k\)，使得 \(d(u,k)\) 最大。
Solution
设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树中到 \(u\) 距离为 \(i\) 的节点数。
用长链剖分维护，轻儿子暴力转移即可。
时间复杂度为 \(O(n)\)。
Code
[POI2014]HOT-Hotels
Description
给定一棵树 \(T\)，在树上选 \(3\) 个点，要求两两距离相等，求方案数。
Solution
设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树中到 \(u\) 距离为 \(i\) 的节点数。
依次枚举 \((u,v)\)，那么有三种情况：
- 有 \(2\) 个点枚举过，\(1\) 个点在 \(v\) 的子树内；
- 有 \(1\) 个点枚举过，\(2\) 个点在 \(v\) 的子树内。
- 两个点位于 \(u\) 的子树，第三个点为 \(u,v\) 的公共祖先。
设 \(g_{u,i}\) 表示到 \(lca\) 距离为 \(d\)，\(lca\) 到 \(u\) 距离为 \(d-i\) 的两点的组合方案数。换而言之，即 \(g_{u,i}\) 表示还要再走 \(i\) 步才能匹配到第三个点的方案数。
那么 第一种对答案的贡献为 \(\sum_{i=0}^{dep_v}g^{'}_{u,i+1}f_{v,i}\)，第二种对答案贡献为 \(\sum_{i=1}^{dep_v}f^{'}_{u,i-1}g_{v,i}\)，第三种对答案贡献为 \(g_{u,0}\)。
\(f^{'}_{u,i}\) 表示被 \(v\) 更新前的 \(f_{u,i}\)，\(g^{'}_{u,i}\) 同理。
最后答案为
\[\sum_{u=1}^n{\left(g_{u,0}+\sum_{(u,v)\in T}\sum_{i=0}^{dep_v}g^{'}_{u,i+1}f_{v,i}+f^{'}_{u,i-1}g_{v,i}\right)}\]
时间复杂度为 \(O(n)\)。
Code
树上 k 级祖先
Description
给定一棵 \(1\sim n\) 的树，有 \(q\) 次询问。
每次询问给出 \(x,k\)，求 \(x\) 的 \(k\) 级祖先，强制在线。
Solution
- 倍增求出每个点的 \(2^i\) 级祖先；
- 将树长链剖分，求出每条链顶端向下 \(len\) 个点与向上 \(len\) 个点，\(len\) 为当前链的长度。
令 \(t=\operatorname{popcount}(k)\)，那么有 \(2^t\le k<2^{t+1}\)。
询问时先跳到 \(x\) 的 \(2^{t}\) 级祖先，由于 \(2^t\le k<2^{t+1}\)，那么 \(k-2^t<2^t\le len\)，\(len\) 为 \(x\) 的 \(2^t\) 级祖先所在链的长度。可以直接 \(O(1)\) 查询答案。
时间复杂度为 \(O(n\log n+q)\)。
Code
