欧拉图

欧拉图

• 欧拉通路
• 欧拉回路

定义

欧拉通路 (欧拉迹): 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的通路。

**欧拉回路 (欧拉闭迹): ** 通过图中每条边且只通过一次，并且经过每一顶点的回路。

**欧拉图: ** 存在欧拉回路的图。

无向图是否具有欧拉通路或回路的判定

欧拉通路

只有 2 个度为奇数的节点 (就是欧拉通路的 2 个端点)。

欧拉回路

所有节点度均为偶数。

有向图是否具有欧拉通路或回路的判定

欧拉通路

除 2 个端点外其余节点入度 = 出度；

终点入度比出度大 1，起点入度比出度小 1。

欧拉回路

所有节点入度 = 出度

有向图寻找找欧拉路径 & 回路

P7771 【模板】欧拉路径

/*
work by:Ariel_
Sorce:
Knowledge:欧拉路径 
Time:
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <stack>
#define ll long long
#define rg register
using namespace std;
const int MAXN = 1e6 + 5; 
int read(){
    int x = 0,f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0'||c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x*10 + c - '0'; c = getchar();}
    return x*f;
}
int n, m, ind[MAXN], out[MAXN], cnt1, cnt2, st = 1, start[MAXN], fag;
vector<int>e[MAXN];
stack<int> s;
void dfs(int x) {
   for (int i = start[x]; i < e[x].size(); i = start[x]) {
   	   int v = e[x][i];
   	   start[x] = i + 1;
   	   dfs(v);
   }
   s.push(x);
}
int main(){
   n = read(), m = read();
   for (int i = 1; i <= m; i++) {
   	 int u = read(), v = read();
   	 ind[v]++, out[u]++;
     e[u].push_back(v);  
   }
   for (int i = 1; i <= n; i++) {
   	  if(ind[i] != out[i]) { fag = 1;
   	    if(ind[i] + 1 == out[i]) st = i, cnt1++;
		else if(ind[i] == out[i] + 1) cnt2++;
	  }
   }
   if(!(!fag || (cnt1 == cnt2 && cnt1 == 1)))  {printf("No\n"); return 0;} 
   for (int i = 1; i <= n; i++) sort(e[i].begin(), e[i].end());
   dfs(st);
   while(!s.empty()) {
   	  printf("%d ", s.top());
   	  s.pop();
   }
   return 0;
}

无向图寻找欧拉路径&回路

P2731 [USACO3.3]骑马修栅栏 Riding the Fences

/*
work by:Ariel_
Sorce:
Knowle:无向图欧拉路径, 回路 
Time:O(nlogn)
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#define ll long long
#define rg register
using namespace std;
const int MAXN = 1100;
int read(){
    int x = 0,f = 1; char c = getchar();
    while(c < '0'||c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') {x = x*10 + c - '0'; c = getchar();}
    return x*f;
}
int m, n, ind[MAXN], st, start[MAXN];
vector<int>e[MAXN];
map<pair<int, int>, int> mp;
stack<int> ans;
void dfs(int x) {
   while(1) {
   	 while(start[x] < e[x].size() && !mp[make_pair(x, e[x][start[x]])]) start[x]++;
   	 if(start[x] >= e[x].size()) break;
   	 int v = e[x][start[x]];
   	 mp[make_pair(x, v)]--; 
   	 mp[make_pair(v, x)]--; 
	 start[x]++;
	 dfs(v);
   }
   ans.push(x);
}
int main(){
   m = read(), st = n = 500;
   for (int i = 1; i <= m; i++) {
   	 int u = read(), v = read();
   	 ind[u]++, ind[v]++;
     st = min(st, min(u, v));
     e[u].push_back(v), e[v].push_back(u);
     mp[make_pair(u, v)]++, mp[make_pair(v, u)]++;
   }
   for (int i = 1; i <= n; i++) sort(e[i].begin(), e[i].end());
   for (int i = 1; i <= n; i++) if(ind[i] & 1) {st = i; break;}
   dfs(st);  
   while(!ans.empty()) {
   	 printf("%d\n", ans.top());
   	 ans.pop();
   }
   puts("");
   return 0;
}