数论：素数判定

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mob604756eb17db 2017-12-02 21:45:00

文章标签 i++ #include 素性测试 ios 整除 文章分类 C/C++ 后端开发

数学问题的解决窍门

素数判定

所谓素数: 指恰好有2个约数的整数。
判定: 因为n的约数都不超过n, 所以只要检查 2 ~ n-1 的所有整数是否整除n就能判定n是不是素数。

在此，如果d 是 n的约数, 那么 n/d也是n的约数。由n = d * n / d 可知 min(d, n/d) <= 根号n , 所以只要检查 2 ~ 根号n 的所有整数就足够了。
同理可知，整数分解和约数枚举都可以在 O(根号n) 时间完成。(还有更高效的算法)

#include <iostream> #include <map> #include <vector> using namespace std;  //假设输入的都是正数 //素性测试 bool is_prime(int n) {     for (int i = 2; i * i <= n; i++) {         if (n % i == 0) return false;     }     return n != 1;     //1是例外 }  //约数枚举 vector<int> divisor(int n) {     vector<int> res;     for (int i = 1; i * i <= n; i++)      {         if (n % i == 0) {             res.push_back(i);             if (i != n / i) {                 res.push_back(n / i);             }         }     }     return res; }  //整数分解 map<int, int> prime_factor(int n) {     map<int, int> res;     for (int i = 2; i * i <= n; i++)     {         while (n % i == 0)          {             ++res[i];             n /= i;         }     }     if (n != 1) {         res[n] = 1;     }      return res; }   int main() {     //记住这个就差不多了     cout << "素性测试: " << is_prime(7) << endl;     cout << "==================================================\n";          cout << "约数枚举(约数总数为2,则为素数):\n";     vector<int> res = divisor(13); //  for (const auto& e : res) { //      cout << e << " "; //  }        cout << (res.size() == 2) << endl;     cout << "==================================================\n";          cout << "整数分解(他没有被任何数分解:\n";     int n = 19;     map<int, int> res2 = prime_factor(n); //  for (auto it = res2.begin(); it != res2.end(); ++it) //  { //      cout << it->first << " " << it->second << "   "; //      cout << endl; //  }     cout << (res2[n] == 1) << endl;      return 0; }

诶氏筛法

如果只对一个整数进行素性测试, 通常的算法就够了，如果要对许多整数进行素性测试，则有更高效的算法。
素数的个数
给定整数n, 请问n以内有多少个素数?
限制条件:

n <= 10^6

#include <iostream> using namespace std;  const int maxn = 10000000; int prime[maxn];              //第i个素数 bool is_prime[maxn + 1];      //is_prime[i]为true 表示i是素数  //返回n以内的素数个数 int sieve(int n) {     int p = 0;                //统计素数的个数     //初始化     for (int i = 0; i <= n; i++) {         is_prime[i] = true;     }     is_prime[0] = is_prime[1] = false;      for (int i = 0; i <= n; i++) {         if (is_prime[i]) {             prime[p++] = i;  //将素数添加到prime中             //1.首先2是素数, 然后划去所有2的倍数             //2.表中剩余的最小数字是3, 它不能被更小的数整除, 所以是素数。再将表中所有3的倍数都划去             //3.依次类推, 如果表中剩余的最小数字是m时, m就是素数。然后将表中所有m的倍数都划去。像这样，就能依次枚举n以内的素数。             for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {                 is_prime[j] = false;             }         }     }     return p; }  int main() {      int cnt = sieve(30);          for (int i = 0; i < cnt; i++)      {         cout << prime[i] << " ";     }          cout << endl;          return 0; }

用埃氏素数解决蓝桥杯简单题

第八届蓝桥杯第二题：

标题：等差素数列

2,3,5,7,11,13,....是素数序列。
类似：7,37,67,97,127,157 这样完全由素数组成的等差数列，叫等差素数数列。
上边的数列公差为30，长度为6。

2004年，格林与华人陶哲轩合作证明了：存在任意长度的素数等差数列。
这是数论领域一项惊人的成果！

有这一理论为基础，请你借助手中的计算机，满怀信心地搜索：

长度为10的等差素数列，其公差最小值是多少？

注意：需要提交的是一个整数，不要填写任何多余的内容和说明文字。

#include <iostream> using namespace std;  const int maxn = 10000000; int prime[maxn];              //第i个素数 bool is_prime[maxn + 1];      //is_prime[i]为true 表示i是素数  int sieve(int n); bool isPrime(int n); void solve();  //返回n以内的素数个数 int sieve(int n) {     int p = 0;                //统计素数的个数     //初始化     for (int i = 0; i <= n; i++) {         is_prime[i] = true;     }     is_prime[0] = is_prime[1] = false;      for (int i = 0; i <= n; i++) {         if (is_prime[i]) {             prime[p++] = i;  //将素数添加到prime中             //1.首先2是素数, 然后划去所有2的倍数             //2.表中剩余的最小数字是3, 它不能被更小的数整除, 所以是素数。再将表中所有3的倍数都划去             //3.依次类推, 如果表中剩余的最小数字是m时, m就是素数。然后将表中所有m的倍数都划去。像这样，就能依次枚举n以内的素数。             for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) {                 is_prime[j] = false;             }         }     }     return p; }  //素性测试 bool isPrime(int n) {     for (int i = 2; i * i <= n; i++) {         if (n % i == 0) return false;     }     return n != 1;     //1是例外 }  void solve() {     int N = 10000;     int cnt = sieve(N); //  cout << cnt << endl;     for (int i = 1; i <= N; i++)        //枚举 1~1000的公差      {         for (int j = 0; j < cnt; j++)          {             int flag = 1,       //标志                  tmp = prime[j]; //第j个素数             for (int k = 1; k < 10; k++)   //第一个数已经确定是素数              {                 if (tmp + i > N || !isPrime(tmp + i)) {                     flag = 0; break;                 }                 else {                     tmp = tmp + i;     //下一个数                  }             }             //如果 连续9个公差为i的数都是素数              if (flag) {                 cout << i << "  开始的素数:" << prime[j] << endl;                 return;             }         }     } }  int main() {          solve();          return 0; }