前言

第一次知道子集卷积可以自己卷自己。

题解

这是一道子集卷积模板题。

设 $sum[S]$ 表示点集 S 的点权和。

设 $f[S]$ 表示对点集 S 进行州区划分得到的答案，定义 $g[S]$ 在点集 S 合法时为 $(sum[S])^p$，不合法时为 0 。

则

$$f[S] = \frac{1}{(sum[S])^p}\sum_{T\subsetneq S} f[T]g[S-T]$$

这东西是个子集卷积的形式。

但是在卷的时候要调用自己。

那怎么办？

一边做子集卷积，一边得出新答案。

具体地：枚举一下集合大小 S ，每次通过之前的结果做卷积求出当前集合大小的所有集合的答案。

直接保留 FMT 后的结果，方便计算、降低时间复杂度。

具体细节见代码。

时间复杂度 $O(n^22^n)$ 。

代码



#pragma GCC optimize("Ofast","inline")
#include <bits/stdc++.h>
#define clr(x) memset(x,0,sizeof (x))
#define For(i,a,b) for (int i=a;i<=b;i++)
#define Fod(i,b,a) for (int i=b;i>=a;i--)
#define pb(x) push_back(x)
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define fi first
#define se second
#define _SEED_ ('C'+'L'+'Y'+'A'+'K'+'I'+'O'+'I')
#define outval(x) printf(#x" = %d\n",x)
#define outvec(x) printf("vec "#x" = ");for (auto _v : x)printf("%d ",_v);puts("")
#define outtag(x) puts("----------"#x"----------")
#define outarr(a,L,R) printf(#a"[%d...%d] = ",L,R);\
            For(_v2,L,R)printf("%d ",a[_v2]);puts("");
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef vector <int> vi;
LL read(){
  LL x=0,f=0;
  char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch))
    f|=ch=='-',ch=getchar();
  while (isdigit(ch))
    x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
  return f?-x:x;
}
const int N=23,S=1<<21,mod=998244353;
const ULL Bmod=16ULL*mod*mod;
int Pow(int x,int y){
  int ans=1;
  for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
    if (y&1)
      ans=(LL)ans*x%mod;
  return ans;
}
void Add(int &x,int y){
  if ((x+=y)>=mod)
    x-=mod;
}
void Del(int &x,int y){
  if ((x-=y)<0)
    x+=mod;
}
int n,m,s,p;
vector <int> e[N];
int w[N];
int cnt1[S],sum[S],f[S];
int g[N][N];
int u[N][S],v[N][S];
int check(int s){
  static int vis[N],in[N],q[N],head,tail,x;
  if (!s) 
    return 0;
  clr(vis),clr(in);
  int fir=-1;
  For(i,0,n-1)
    if (s>>i&1){
      fir=i;
      break;
    }
  head=tail=0;
  q[++tail]=fir,vis[fir]=1;
  while (head<tail){
    x=q[++head];
    for (auto y : e[x])
      if (s>>y&1){
        in[y]^=1;
        if (!vis[y])
          vis[y]=1,q[++tail]=y;
      }
  }
  if (tail!=cnt1[s])
    return 1;
  For(i,0,n-1)
    if (in[i])
      return 1;
  return 0;
}
void FMT(int *a){
  For(i,0,n-1)
    For(j,0,s-1)
      if (j>>i&1)
        Add(a[j],a[j^1<<i]);
}
void IFMT(int *a){
  For(i,0,n-1)
    For(j,0,s-1)
      if (j>>i&1)
        Del(a[j],a[j^1<<i]);
}
int main(){
  n=read(),m=read(),p=read();
  s=1<<n;
  clr(g);
  For(i,1,m){
    int x=read()-1,y=read()-1;
    e[x].pb(y),e[y].pb(x);
  }
  For(i,0,n-1)
    w[i]=read();
  For(i,0,s-1){
    For(j,0,n-1)
      if (i>>j&1){
        cnt1[i]++;
        sum[i]+=w[j];
      }
    f[i]=check(i);
    sum[i]=Pow(sum[i],p);
    if (f[i])
      u[cnt1[i]][i]=sum[i];
  }
  For(i,0,n)
    FMT(u[i]);
  v[0][0]=1;
  FMT(v[0]);
  For(i,1,n){
    For(k,0,s-1){
      ULL tmp=0;
      For(j,0,i-1){
        tmp+=(LL)v[j][k]*u[i-j][k];
        if (tmp>=Bmod)
          tmp-=Bmod;
      }
      v[i][k]=tmp%mod;
    }
    IFMT(v[i]);
    For(k,0,s-1)
      if (cnt1[k]==i)
        v[i][k]=(LL)v[i][k]*Pow(sum[k],mod-2)%mod;
      else
        v[i][k]=0;
    FMT(v[i]);
  }
  IFMT(v[n]);
  cout<<v[n][s-1]<<endl;
  return 0;
}