该程序给出了使用递归方式以及使用迭代方式两种算法实现。该两种实现都基于如下推导：
- 当 m = n, n != 1 时，f(n) = 2(n-1)
- 即 f(n) 为 二项式 (a+b)
- n
- 展开式各项系数之和，推导如下：
- 设楼梯有 n 级，某人一步最多迈 m(m=n) 级，使用“隔板法”（共 n-1 个空位）可得 f(n) = ∑
- n=1
- n
- C
- n
- n-1
- = 2
- n-1
- 。
- 当 m <=n 时，f(n) = 2*f(n-1) - f(n-m-1)
- 即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m) 代入 n 后的递推式，推导如下：
- 归纳可得 f(n) 为先上 1 步、2 步、...、m 步走法只和：f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m)。
- 逐步代入展开：f(n) = (f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m-1))+ f(n-2) + ... + f(n-m)，即（展开 f(n-1)）... => f(n) = 2*f(n-1) - f(n-m-1)。
f(n) 可根据 m 分三类情况求解：
- 当 m = 1 时，有且仅有 1 种走法，f(n)=1
- 当 m <= n 时，f(n) = 2*(f(n-1) - f(n-m-1)，特别地，
- 当 m = n 时，f(n) = 2n-1
package steps;
/**
* 台阶问题：
* 某楼梯有 n(n>=1) 级台阶，某人一步最多迈 m(n>=m>=1)级，
* 求有多少种不同的上楼方案 f(n)。
*
*
* 该程序给出了{@linkplain #f(int) 使用递归方式}以及{@linkplain #f_(int)
* 使用迭代方式}两种算法实现。该两种实现都基于如下推导：
*
- *
- 当 m = n, n != 1 时，f(n) = 2(n-1)
- * 即 f(n) 为 二项式 (a+b)
- n
- 展开式各项系数之和，推导如下：
- * 设楼梯有 n 级，某人一步最多迈 m(m=n) 级，使用“隔板法”（共 n-1 个空位）可得 * f(n) = ∑
- n=1
- n
- C
- n
- n-1
- = * 2
- n-1
- 。 *
- 当 m <=n 时，f(n) = 2*f(n-1) - f(n-m-1)
- * 即 f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(n-m) 代入 n 后的递推式，推导如下：
- * 归纳可得 f(n) 为先上 1 步、2 步、...、m 步走法只和：f(n) = f(n-1) + f(n-2) * + ... + f(n-m)。
- 逐步代入展开：f(n) = (f(n-2) + f(n-3) + ... * + f(n-m-1))+ f(n-2) + ... + f(n-m)，即（展开 f(n-1)）... => f(n) = 2*f(n-1) * - f(n-m-1)。 *
*
* *
* f(n) 可根据 m 分三类情况求解： *
- *
- 当 m = 1 时，有且仅有 1 种走法，f(n)=1
- *
- 当 m <= n 时，f(n) = 2*(f(n-1) - f(n-m-1)，特别地，
- *
- 当 m = n 时，f(n) = 2n-1
- *
*
* * @author Liang Ding * @version 1.0.0.2, Mar 14, 2011 */ public final class Main { /** * 一步最多迈 {@value #M} 级。 */ private static final int M = 20; /** * 楼梯共有 {@value #N} 级台阶。 */ private static final int N = 30; /** * 保存中间计算结果 f(0)...f(N)。 */ private static final long[] F = new long[N + 1]; /** * 检查给定的 {@linkplain #N N} 与 {@linkplain #M M} 是否满足： *
- *
- N >= 1
- *
- M >= 1
- *
- N >= M
- *
*/ private static void check() { if (N < 1) { throw new IllegalArgumentException("N must larger or equal than 1"); } if (M < 1) { throw new IllegalArgumentException("M must larger or equal than 1"); } if (M > N) { throw new IllegalArgumentException("N must larger or equal than M"); } } /** * 主程序入口。 * * @param args 指定的参数（将被忽略） */ public static void main(final String[] args) { check(); if (1 == M) { // 有且仅有 1 种走法 System.out.println("f(n)=1"); return; } init(); long start = System.currentTimeMillis(); f(N); long used = System.currentTimeMillis() - start; System.out.println("Recursively, f(n)=" + F[N] + ", used " + used + " millis"); init(); long start2 = System.currentTimeMillis(); f_(N); long used2 = System.currentTimeMillis() - start2; System.out.println("Iteratively, f(n)=" + F[N] + ", used " + used2 + " millis"); } /** * 初始化 F[0]...F[M]。 */ private static void init() { F[0] = 1; F[1] = 1; F[2] = 2; for (int n = 3; n <= M; n++) { F[n] = 1 << (n - 1); } } /** * 迭代求 f(n)，计算结果保存在 F[n] 中。 *
* 时间复杂度： *
- *
- 最坏 O(n)，当 m == 1 时
- *
- 最好 O(1)，当 n == M 时
- *
- * @param n 指定的 n */ public static void f_(final int n) { for (int i = 3; i <= N; i++) { if (i <= M) { continue; // F[0]...F[M] 已在初始化中求出。 } // 开始迭代求解， f(n)= 2 * f(n-1) - f(n-M-1) F[i] = 2 * F[i - 1] - F[i - M - 1]; } } /** * 递归求 f(n)，计算结果保存在 F[n] 中，时间复杂度为 O(2^n)。 * * @param n 指定的 n * @return F[n] */ public static long f(final int n) { // F[0]...F[M] 已在初始化中求出。 if (0 == n || 1 == n) { return F[0]; } if (2 == n) { return F[2]; } if (M >= n) { return F[n]; } // 开始递归求解， f(n）= 2 * f(n-1) - f(n-M-1) F[n] = 2 * f(n - 1) - f(n - M - 1); return F[n]; } private Main() { } }
足见，程序员绝对需要一定的数学知识。
本文是使用 B3log Solo 从 简约设计の艺术 进行同步发布的
