不简单的矩乘题
题面
讨论一下两个 \(1\times1\) 的方格是否在同一行可以发现答案就是 \(2\times\sum\limits_{i=1}^{n-3}f_i\times sum_{n-i-3}\)，其中 \(f_i\) 为斐波那契数列的第 \(i\) 项，\(sum_i=\sum\limits_{j=1}^i f_j\)。直接计算可以得到 \(50\) 分。
容易发现 \(sum_i=f_{i+2}-1\)，证明的话可以移项拆式子。
那么问题就变成了求解 \(2\times\sum\limits_{i=1}^{n-3}f_i\times(f_{n-i-1} - 1)=2\times\sum\limits_{i=1}^{n-3}(f_i\times f_{n-i-1}-f_i)\)。
设 \(G_i=\sum\limits_{j=1}^i f_j\times f_{n-j}\)，则答案可以被表示为 \(2\times(G_{n-3}-f_{n-1}\times f_0-f_{n-2}\times f_1-f_{n-1}+1)\)。
考虑如何化简 \(G_n\)：
\[\begin{aligned}G_{n}&=\sum\limits_{i=1}^n f_i\times f_{n-i}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-2}f_i\times f_{n-i}+f_n+f_{n-1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-2}f_i\times(f_{n-i-1}+f_{n-i-2})+f_n+f_{n-1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-2}f_i\times f_{n-i-1}+\sum\limits_{i=1}^{n-2}f_i\times f_{n-i-2}+f_n+f_{n-1}\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n-1}f_i\times f_{n-i-1}+\sum\limits_{i=1}^{n-2}f_i\times f_{n-i-2}+f_n\\ &=G_{n-1}+G_{n-2}+f_n \end{aligned}\]
这样就可以用矩阵乘法了。
具体的，转移矩阵是：
\[\begin{bmatrix}G_{i-1}&G_{i-2}&f_{i-1}& f_{i-2} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 1&0&1&1\\ 1&0&1&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} G_{i}&G_{i-1}&f_{i}& f_{i-1} \end{bmatrix} \]
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