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矩阵乘法+KMP+dp

比较神仙的$dp+KMP+Matrix$综合题目，比较值得一写

$0x00$:首先我打了一个爆搜

不过对正解并无任何启发。。。（逗比发言请忽略）

$0x01$:基础$dp$

状态还是比较好设的，

考虑设$f_{i,j}$表示$dp$到长串的第$i$位，匹配了短串的前缀长度为$j$时的总方案数

直接转移不大好搞，那么我们还需要一个转移数组

设$g_{k,j}$表示在 和短串匹配长度为$k$的串 后面添加一个字符，使新构成的串 和短串匹配长度为$j$，这样的字符的添加方案数

这个东西可以用$KMP$求，具体而言就是枚举每一种长度以及每一种可能的添加字符，

如果这个字符与短串不匹配，那么就跳$nxt$数组找到合法的最长匹配前缀。

那么转移为$f_{i,j}=\sum_{k=0}^{m-1} f_{i-1,k}*g_{k,j}$那么最终的答案就是$\sum_{i=0}^{m-1} f_{n,i}$，然而复杂度$O(nm^2)$直接爆炸

$0x02$:矩阵优化

我们看到这个方程式非常的像矩阵乘法，考虑矩阵加速递推，经过观察，我们发现这个$f$数组貌似可以省去，直接递推$g^n$就可以得到最后的$f_n$

这样，最后的答案就是$\sum_{i=0}^{m-1}g^n_{0,i}$，时间复杂度$O(m^3log_n)$完全可过

1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 namespace AE86{
 4     inline int read(){
 5         int x=0,f=1;char ch=getchar();
 6         while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
 7         while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return x*f;
 8     }inline void write(int x,char opt='\n'){
 9         char ch[20];int len=0;if(x<0)x=~x+1,putchar('-');
10         do{ch[len++]=x%10+(1<<5)+(1<<4);x/=10;}while(x);
11         for(int i=len-1;i>=0;--i)putchar(ch[i]);putchar(opt);}
12 }using namespace AE86;
13 const int NN=1e5+5;
14 int n,m,mod,nxt[NN],ans;
15 char s[25];
16 namespace Matrix{
17     struct Ma{
18         int p[25][25];
19         inline void cle(){memset(p,0,sizeof(p));}
20         inline void pre(){for(int i=0;i<m;i++)p[i][i]=1;}
21         inline void print(){for(int i=0;i<m;i++){for(int j=0;j<m;j++){cout<<p[i][j]<<" ";} cout<<endl;}}
22     };
23     inline Ma mul(Ma a,Ma b){
24         Ma c;c.cle();
25         for(int i=0;i<m;i++)
26             for(int j=0;j<m;j++)
27                 for(int k=0;k<m;k++)
28                     (c.p[i][j]+=1ll*a.p[i][k]*b.p[k][j]%mod)%=mod;
29         return c;
30     }
31     inline Ma qmo(Ma a,int b){
32         Ma c; c.cle(); c.pre();
33         while(b){
34             if(b&1) c=mul(c,a);
35             b>>=1; a=mul(a,a);
36         } return c;
37     }
38     inline Ma kmp(){
39         nxt[1]=0; Ma a; a.cle();
40         for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
41             while(j && s[j+1]!=s[i]) j=nxt[j];
42             if(s[j+1]==s[i]) ++j;
43             nxt[i]=j;
44         }
45         for(int i=0;i<m;i++){
46             for(int ch='0';ch<='9';ch++){
47                 int j=i;
48                 while(j && s[j+1]!=ch) j=nxt[j];
49                 if(s[j+1]==ch) ++j;
50                 ++a.p[i][j];
51             }
52         }
53         return a;
54     }
55 }using namespace Matrix;
56 namespace WSN{
57     inline short main(){
58         n=read(); m=read(); mod=read(); scanf("%s",s+1);
59         Ma a=kmp(); a=qmo(a,n);
60         for(int i=0;i<m;i++) (ans+=a.p[0][i])%=mod;
61         write(ans);
62         return 0;
63     }
64 }
65 signed main(){return WSN::main();}

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