[atARC075F]Mirrored

假设$n=\sum_{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$（其中$a_{k}>0$），则有$d=f(n)-n=\sum_{i=0}^{k}(10^{k-i}-10^{i})a_{i}$，考虑$i$和$k-i$，不难化简得到$d=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}(10^{k-i}-10^{i})(a_{i}-a_{k-i})$

（这里忽略了当$k$为偶数时$a_{\frac{k}{2}}$，因为其系数为0，因此当$k$为偶数时答案可以再乘10）

记$b_{i}=a_{i}-a_{k-i}$后，考虑去统计$b_{i}$，之后再加上对应的$a_{i}$，即$\prod(10-|b_{i}|)$种

从0到$\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor$依次确定$b_{i}$，当要确定$b_{i}$时（即$b_{0..i-1}$都已经确定），考虑$b_{i}$之后的位置所能产生的贡献，不难得到$b_{i}$合法的必要条件为$|d-\sum_{j=0}^{i}(10^{k-j}-10^{j})b_{j}|\le 9\sum_{j=i+1}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}(10^{k-j}-10^{j})$

又因为$10^{k-i}-10^{i}>9\sum_{j=i+1}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}(10^{k-j}-10^{j})$，即当左边绝对值内已经是正数时，再增加$b_{i}$一定不合法，类似的负数时不能减少，因此$b_{i}$最多只有两种（恰好为正数或负数）

如果爆搜，对于每一个$k$都有$2^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}$的复杂度，因此考虑确定$k$的范围：

对于$10^{k-i}-10^{i}>9\sum_{j=i+1}^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}(10^{k-j}-10^{j})$这个条件，更精确的，我们在右边再加上$10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}$后也是正确的，即$10^{k-i}-10^{i}>9\sum_{j=i+1}^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}(10^{k-j}-10^{j})+10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}$

接下来证明若$d\le 10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}-10^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}$，一定无解——

归纳$b_{i}=0$，即当确定$b_{i}$时$b_{0..i-1}=0$，此时来证明$b_{i}=0$

由于$d>0$，因此$b_{i}\le 1$，同时$b_{i}$的系数最小即为$10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}-10^{\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor}$，因此$b_{i}\ge -1$

而当$b_{i}=-1$时，$(10^{k-j}-10^{j})-d>9\sum_{j=i+1}^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}(10^{k-j}-10^{j})+10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}-10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}$（第一项$10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}$是更精确的比较，第二项是$d<10^{\lceil\frac{k+1}{2}\rceil}$），因此即不满足必要条件

当所有$b_{i}=0$时，不难得到$d=0$，即无解，因此有$k\le 18$，总复杂度即为$o(18\cdot 2^{9})$，可以通过

有1个细节：要求$a_{k}>0$，因此若$b_{0}\ge 0$则$b_{0}$的对$a_{i}$贡献系数为$9-b_{0}$

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 21
 4 #define ll long long
 5 ll n,sum,ans,mi[N];
 6 void dfs(int k,int t,ll n,ll tot){
 7     if (k>(t-1)/2){
 8         if (!n)sum+=tot;
 9         return;
10     }
11     ll s=mi[t-k]-mi[k];
12     n+=9*s;
13     for(int i=-9;i<=9;i++){
14         if (abs(n)<s)dfs(k+1,t,n,tot*(10-abs(i)-((!k)&&(i>=0))));
15         n-=s;
16     }
17 }
18 int main(){
19     scanf("%lld",&n);
20     mi[0]=1;
21     for(int i=1;i<=18;i++)mi[i]=mi[i-1]*10;
22     for(int i=1;i<=18;i++){
23         sum=0;
24         dfs(0,i,n,1);
25         if (i%2==0)sum*=10;
26         ans+=sum;
27     }
28     printf("%lld",ans);
29 } 

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