给出一个质数 P，找他最小的原根。

最小原根

题目链接：ybt金牌导航8-6-5

题目大意

给出一个质数 \(P\)，找他最小的原根。

思路

不知道原根的可以看这个：
——>点我<——

至于找原根，其实我们可以用一个近似暴力的方法找。
为什么可以呢，因为它原根分布广，而且最小的也比较小。

我们就考虑判断一个数是否是原根。
对于要检查 \(g\) 是不是模 \(p\) 的原根，我们可以枚举 \(\varphi(p)\) 的质因子 \(a\)，然后检查 \(g^{\frac{\varphi(p)}{a}}\equiv1(\mod\ p)\) 是否成立，如果成立了，就说明它不是原根。

这道题因为 \(p\) 是质数，所以 \(\varphi(p)\) 就直接等于 \(p-1\) 了。

代码

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

int n, prime[100001];
int zyz[10001];
bool np[100001];

void get_prime() {//求质数
	for (int i = 2; i <= 100000; i++) {
		if (!np[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
		}
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= 100000; j++) {
			np[i * prime[j]] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
}

void fenjie(int now) {//分解出质因数
	int up = sqrt(now);
	for (int i = 1; prime[i] <= up; i++)
		if (now % prime[i] == 0) {
			zyz[++zyz[0]] = prime[i];
			while (now % prime[i] == 0) now /= prime[i];
		}
	if (now > 1) zyz[++zyz[0]] = now;
}

ll ksm(ll x, ll y) {//快速幂
	ll re = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) re = (re * x) % n;
		x = (x * x) % n;
		y >>= 1;
	}
	return re;
}

int main() {
	get_prime();
	
	scanf("%d", &n);
	
	fenjie(n - 1);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		bool yes = 1;
		
		for (int j = 1; j <= zyz[0]; j++) {
			if (ksm(1ll * i, 1ll * (n - 1) / zyz[j]) == 1ll) {
				yes = 0;
				break;
			}
		}
		
		if (yes) {
			printf("%d", i);
			return 0;
		}
	}
	
	return 0;
}