原创 lightcity 光城 2018-11-24
0.说在前面1.Softmax向量化1.1 Softmax梯度推导1.2 Softmax向量化实现2.两层神经网络2.1 反向传播推导2.2 两层神经网络实现3.作者的话
0.说在前面
今天是cs231n Assignment1的最后一块，也就是继上次的softmax及两层神经网络！今天在学习神经网络反向传播的时候，觉得很有意思，就仔细琢磨了一下，结果很有帮助，对于矩阵的求导有了更深的认识，下面给出手推神经网络反向传播的求导以及softmax向量化推导及实现！Assignment2等后续内容，正在撰写中，一起来期待！下面一起来研究吧。
下期预告，链表一道题多种解法！
1.Softmax向量化
1.1 Softmax梯度推导
首先来给出Loss的公式
data loss+regularization！
推导：
X矩阵是(N,D)，W矩阵是(D,C)，S矩阵是(N,C)，S矩阵中每一行是Li，那么XW=S表示如下公式(1)所示：
L对W求导，最后的矩阵维度为W的维度，那么L对W求导维度为(D,C)，而L对S的求导维度为(N,C)，S对W的求导维度为(N,D)或者(D,N)，根据维度相容来选择，如果X与W均是一维的那么就是X，否则就是X转置！下面的式子记作(2)式：
X转置后维度为(D,N)，而L对S求导的维度为(N,C)，此时可以相乘，否则不能乘！
L对Si求导，我们知道L1只与S1有关，推出Li只与Si有关！下面的式子记作(3)式：
紧接着，我们将Li对Si求导拆分成对q求导，在由q对S求导，这里的推论结果，直接使用上次推出的结果，带入就是下面的额式子(记作(4)式)：
完成(2)式得，记作(5)式：
1.2 Softmax向量化实现
具体实现的流程解释看代码注释！
def softmax_loss_vectorized(W, X, y, reg):
loss = 0.0
dW = np.zeros_like(W)
num_train = X.shape[0]
num_class = W.shape[1]
scores = X.dot(W) # N*C
# np.max后会变成一维，可设置keepdims=True变为二维(N,1)
# 防止指数爆炸
scores-=np.max(scores,axis=1,keepdims=True)
# 取指数
scores=np.exp(scores)
# 计算softmax
scores/=np.sum(scores,axis=1,keepdims=True)
# ds表示L对S求导
ds = np.copy(scores)
# qiyi - 1
ds[np.arange(num_train), y] -= 1
dW = np.dot(X.T, ds)
loss = scores[np.arange(num_train), y]
# 计算Li
loss =-np.log(loss).sum()
# 计算所有loss除以N
loss /= num_train
# ds矩阵没有除以N，所以在这里补上，最后除以N，具体看(5)式
dW /= num_train
# 计算最终的大L
loss += reg * np.sum(W * W)
dW += 2 * reg * W
return loss, dW
2.两层神经网络
2.1 反向传播推导
2.2 两层神经网络实现
计算前向传播
前向传播可以看上面手推图结构！
scores = None
s1 = np.dot(X, W1) + b1
# (N,H)
s1_relu = (s1 > 0) * s1
scores = np.dot(s1_relu, W2) + b2
if y is None:
return scores
计算损失函数
这里计算损失与softmax一致，可以参看上面的！
# Compute the loss
loss = None
# 防止指数爆炸
scores -= np.max(scores, axis=1, keepdims=True)
# 取指数
scores = np.exp(scores)
# 计算softmax
scores /= np.sum(scores, axis=1, keepdims=True)
loss = -np.log(scores[np.arange(N), y]).sum()
loss /= N
loss += reg * np.sum(W1 * W1)
loss += reg * np.sum(W2 * W2)
计算反向传播
具体推导看上面手推图！
这里将上面的关键点提出来，ds2表示的是dl对ds2求导，ds1表示dl对ds1求导！其余的一致！
grads = {}
ds2 = np.copy(scores)
# qiyi - 1
ds2[np.arange(N), y] -= 1
grads['W2'] = np.dot(s1_relu.T, ds2) / N + 2 * reg * W2
# b2的shape=(N,C)广播机制
# (1,C)
# 这里除以N是因为ds的时候没有除以N，所以最后就得除以N，后面相同！
grads['b2'] = np.sum(ds2, axis=0) / N
ds1 = np.dot(ds2, W2.T)
# relu函数
ds1 = (s1 > 0) * ds1
grads['W1'] = np.dot(X.T, ds1) / N + 2 * reg * W1
grads['b1'] = np.sum(ds1, axis=0) / N
随机选择数据集batch_size大小
train方法中添加：
num_random = np.random.choice(np.arange(num_train), batch_size)
X_batch = X[num_random, :]
y_batch = y[num_random]
计算损失与梯度
train方法中添加：
loss, grads = self.loss(X_batch, y=y_batch, reg=reg)
loss_history.append(loss)
更新w与b
train方法中添加：
self.params['W1'] -= learning_rate * grads['W1']
self.params['W2'] -= learning_rate * grads['W2']
self.params['b1'] -= learning_rate * grads['b1']
self.params['b2'] -= learning_rate * grads['b2']
预测结果
output = np.maximum(X.dot(self.params['W1']) + self.params['b1'], 0).dot(self.params['W2'])+self.params['b2']
y_pred = np.argmax(output, axis=1)
3.作者的话
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