回溯算法

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mb5ff40c2b7824d 2019-07-19 22:43:00

文章标签 结点搜索回溯算法回溯法深度优先 文章分类 数据结构与算法人工智能

回溯算法

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。 [1]

中文名

回溯算法

外文名

backtracking algorithm

其他名称

试探法

方法

一种系统地搜索问题的解

基本思想

能进则进

例题

八皇后问题

来源

编辑

回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

用回溯算法解决问题的一般步骤：

1、针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

2 、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。

3 、以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。 [2]

基本思想

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回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

算法框架

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（pascal语言）

1 2 3 4 5 6 7 8 9	`procedure` `try``(i:``integer``);` `var` `begin` `if` `i>n` `then` `输出结果` `else` `for` `j:=下界` `to` `上界` `do` `begin` `x[i]:=h[j];` `if` `可行``{满足限界函数和约束条件}` `then` `begin` `置值；``try``(i+``1``);` `end``;` `end``;`

（c++）以下以一道题目为例，素数环问题

将从1到n这n个整数围成一个圆环，若其中任意2个相邻的数字相加，结果均为素数，那么这个环就成为素数环。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37	`#include<iostream>` `#include<cmath>` `#include<cstdio>` `using` `namespace` `std;` `int` `ans[21] = {0}, tot = 0;` `bool` `a[21] = {0};` `void` `print(){` `tot++;` `cout <<` `"No."` `<< tot <<` `':'``;` `for` `(``int` `i = 1; i <= 20; i++)` `cout << ans[i] <<` `' '``;` `cout << endl;` `}` `bool` `isprime(``int` `x1,` `int` `x2){` `int` `i = x1 + x2,f;` `for` `(f = 2; f <=` `sqrt``(i); f++)` `if` `(i % f == 0)` `return` `false``;` `return` `true``;` `}` `int` `search(``int` `t){` `for` `(``int` `i = 1; i <= 20; i++){` `if` `(a[i] ==` `false` `&& isprime(ans[t - 1], i)){` `ans[t] = i;` `a[i] =` `true``;` `if` `(t == 20 && isprime(ans[1], ans[20]))` `print();` `else` `search(t + 1);` `a[i] =` `false``;` `}` `}` `}` `int` `main() {` `search(1);` `printf``(``"The total is　%d"``, tot);` `}`

典型例题

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问题描述

八皇后问题：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

代码

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124	`int` `g_number = 0;` `void` `EightQueen()` `{` `const` `int` `queens = 8;` `int` `ColumnIndex[queens];` `for``(``int` `i = 0; i < queens; ++ i)` `ColumnIndex[i] = i;` `Permutation(ColumnIndex, queens, 0);` `}` `void` `Permutation(``int` `ColumnIndex[],` `int` `length,` `int` `index)` `{` `if``(index == length)` `{` `if``(Check(ColumnIndex, length))` `{` `++ g_number;` `PrintQueen(ColumnIndex, length);` `}` `}` `else` `{` `for``(``int` `i = index; i < length; ++ i)` `{` `int` `temp = ColumnIndex[i];` `ColumnIndex[i] = ColumnIndex[index];` `ColumnIndex[index] = temp;` `Permutation(ColumnIndex, length, index + 1);` `temp = ColumnIndex[index];` `ColumnIndex[index] = ColumnIndex[i];` `ColumnIndex[i] = temp;` `}` `}` `}` `bool` `Check(``int` `ColumnIndex[],` `int` `length)` `{` `for``(``int` `i = 0; i < length; ++ i)` `{` `for``(``int` `j = i + 1; j < length; ++ j)` `{` `if``((i - j == ColumnIndex[i] - ColumnIndex[j])` `\|\| (j - i == ColumnIndex[i] - ColumnIndex[j]))` `return` `false``;` `}` `}` `return` `true``;` `}` `void` `PrintQueen(``int` `ColumnIndex[],` `int` `length)` `{` `printf``(``"Solution %d\n"``, g_number);` `for``(``int` `i = 0; i < length; ++i)` `printf``(``"%d\t"``, ColumnIndex[i]);` `printf``(``"\n"``);` `}`