1. 过渡矩阵与基变换

设 x1,x2,…,xn 是 Vn 的一组旧基，y1,y2,…,yn 为其新基，则由基的定义可知：


⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y1=c11x1+c22x2+…+cn1xny2=c12x1+c22x2+…+cn2xn⋮yn=c1nx1+c2nx2+…+cnnxn


当然也可以写成矩阵的形式：


(y1,y2,…,yn)=(x1,x2,…,xn)C


矩阵 C 称为过渡矩阵，可以证明的是，过渡矩阵是非奇异矩阵。

2. 坐标变换

设 x∈Vn 在上面所述旧（xi）新（yi）两基下的坐标分别是 (λ1,λ2,…,λn)T 和 (η1,η2,…,ηn)，所以有：


x=λ1x1+λ2x2+…+λnxn=η1y1+η2y2+…+ηnyn


写成矩阵形式即为：


x=(x1,x2,…,xn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=(y1,y2,…,yn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥


又由基变换 (yi)=(xi)C 可知：


x=(x1,x2,…,xn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=(y1,y2,…,yn)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=(x1,x2,…,xn)C⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥


所以可得：


⎡⎣⎢⎢⎢⎢λ1λ2⋮λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=C⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢η1η2⋮ηn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥


λi 为旧基下的坐标，ηi 则为新基下的坐标。