[复习笔记]WQS二分

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mb5fed73533dfa9 2021-10-20 08:20:00

〇、前言 ¶

天天被打爆......很久之前学过 $\mathrm{wqs}$ 二分，现在又忘记了......考试凭感觉打......还是总结一篇好了。

壹、知识桥 ¶

引入：有若干个物品，要求你选出 $m$ 个，选的时候带有限制，要你求出最优的方案。

一般解决这一类问题，我们十分常用的技巧是 $\mathrm{DP}$，不过，在某些限制条件或者数据范围较为严格的时候，$\mathrm{DP}$ 因为其本身并不具备比较特殊的性质而难以优化，这个时候，$\mathrm{wqs}$ 二分就应运而生了。

$\mathrm{wqs}$ 二分有一个十分重要的前提：设 $g(i)$ 为选择 $i$ 个物品的最优方案，若将 $(i,g(i))$ 画出来，那么这些点在平面上必须构成凸包，其本质是需要满足斜率的单调性。此时，我们的目的就是求出 $g(m)$，而 $\mathrm{wqs}$ 二分的主要算法流程是：

二分一个斜率 $k$；
求出直线 $y=kx+C$（其中 $C$ 为一常数）与 $(i,g(i))$ 凸包的切点；
根据切点与 $(m,g(m))$ 的关系，对斜率进行调整；
反复执行上述三步；

该过程，用一图以蔽之，即：

当我们得到的切点横坐标为 $m$ 时，其纵坐标即为答案。现在的问题是，对于一个斜率 $k$，如何求 $y=kx+C$ 与凸包的切点？事实上，与凸包相切、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 一定是所有与凸包相交，且斜率为 $k$ 的直线中，截距最大的一条直线，也即，我们想要找到一个点 $x$，使得 $f(x)=g(x)-kx$ 即直线 $l$ 截距最大。

现在似乎无法进一步分析了，但我们可以考察 $f(x)$ 的含义 —— 选 $x$ 个物品，每个物品价值减去 $k$ 之后的最大价值和。由于 $x$ 为任意数值，因此我们在选的物品数量上并没有任何限制，这在 $\mathrm{DP}$ 层面，本质就是去掉了限制物品数量的一个维度，替换为了一个 $\log$ 的二分斜率的时间。

这看上去确实很厉害，不过，仍然要重申一遍使用该方法的前提条件：$(i,g(i))$ 具有凸性，而凸性的证明我们可以从几个方面入手：

斜率具有单调性；
$\forall i,f(i)>\frac{f(i-1)+f(i+1)}{2}$；
从 $\mathrm{DP}$ 的一些基本性质或含义上入手；
......；

还可能有更多的方法，具体情况具体分析咯。另外，还有两个比较细节的地方，一是关于斜率的调整，应当结合图像的上凸或者下凸调整左右边界，二是应当考察一条直线的情形。

贰、典例营 ¶

[APIO/CTSC2007]数据备份

设计朴素状态 $f(i,j,0/1)$ 表示前 $i$ 个建筑，选了 $j$ 对，最后一个建筑是否被选择，于是可以得到比较简单的转移。

不难发现，如果我们固定 $i=n$，并 $g(j)\overset\Delta=\min(f(n,j,0),f(n,j,1))$，那么 $(j,g(j))$ 显然是下凸的，具体可以考察其增量，每次肯定都是贪心选择较小的，到了后面单次增量将会逐渐增大，于是我们就可以对其使用 $\mathrm{wqs}$ 二分。

$\mathcal{Submission\;Link}$.

[CF958E2]Guard Duty(medium)

注意到 $2k\le n$，那么，我们每次选择 $t$ 相邻的肯定最好，设 $t'$ 为 $t$ 排序后的结果，记 $a_i=t'_{i + 1} - t'_i$，那么，原题目就转化为了，从 $a$ 中选择 $k$ 个，这 $k$ 个中没有两个相邻（这意味着相交在端点）的最小值，这和上一个题很相似了，同理可做。

$\mathcal{Submission\;Link}$.