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反演

啥是反演

我们有数列 \(\left\{f_i\right\}\) 和 \(\left\{g_i\right\}\)，他们满足一定的递推关系使得

\[g_n=\sum_{i=0}^{n}a_{n, i}f_i \]

但是，通常我们很清楚 \(\left\{g_i\right\}\) 的取值，这时候我们想要求出 \(\left\{f_i\right\}\) 就得使用反演。

如果反演为如下形式：

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}g_i \]

那么我们可以得到 \(a\) 与 \(b\) 的关系：

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}g_i=\sum_{i=0}^{n}b_{n,i}\sum_{j=0}^{i}a_{i,j}f_j=\sum_{i=0}^{n}f_i\sum_{j=i}^{n}b_{n,j}a_{j,i} \]

我们考虑 \(f\) 的系数：只有 \(f_n\) 的系数为 \(1\)，其余为 \(0\)。得到：

\[\sum_{j=i}^{n}b_{n,j}a_{j,i}=\delta(n,i)\tag{1} \]

其中 \(\delta(i,j)=[i=j]\)。

同理，把 \(f\) 带进 \(g\)：

\[\sum_{j=i}^{n}a_{n,j}b_{j,i}=\delta(n,i)\tag{2} \]

满足式 \(1\)，\(2\)，也就意味着反演成立。