线性代数-矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是线性代数中的基本运算，初等变换包括三种初等行变换与三种初等列变换。分别为：

• 对换变换，即i行与j行进行交换，记作r_i <->r_j;
• 数乘变换，非零常数k乘以矩阵的第i行，记作kr_i;
• 倍加交换，矩阵第i行的k倍加到第j行上，记作r_j + kr_i

对应关系换成列，即为三种初等列变换。矩阵变换可以化简矩阵、解线性方程组、求矩阵的逆矩阵。

 

行阶梯形的定义：

1、对于行而言，若有零行，则零行均在非零行的下方；

2、从第一行开始，每行第一个非零元素前面的零逐行增加。

 

对于矩阵A，很显然符合行阶梯形的定义：

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5\\
0 & 2 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

对第一行作 r1 - r2 变换得到矩阵：

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 2 & 4 & 5 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 继续作 0.5 r2 变换

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

 r2 - 3/7 r3； r1 + 1/7r3 变换

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

1/7 r3 变换

\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & -1 & 0\\
0 & 1 & 2 & 5/2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}

对于矩阵A_mxn，通过有限次初等变换可以转换成行阶梯形的形式。

A的最简形：非零行的第一个非零元素是1，且1所在的列，非零元素均为零。显然最后一个行阶梯形矩阵符合A的行最简形定义。

A的标准型：左上角是一个r阶的单位矩阵，其余元素为零。