4.0 序言
当我们把Rn仅仅看作自然地岀现在应用问题中的各种向量空间之一时,线性代数的魅力和威力将更清楚地显露出来.
实际上,研究向量空间与研究Rn本身并没有多大不同,因为我们可以利用R2和R3中的几何经验使许多几何概念直观化.
Rn实际上更加抽象,向量空间只是它的一种表现形式
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4.1节中给出一些基本定义之后,一般向量空间的框架逐步展开并贯穿于全章.
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4.3 4.5节的一个目标是表明其他向量空间是如何类似于R"的.
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4.6节讨论的秩是本章的高潮之一,利用向量空间的术语将矩阵的重要知识连在一起.
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4.8节将本章的理论应用到离散信号和差分方程,
它们用于像航天飞机中用到的数字控制系统. -
4.9节中的马尔可夫( Markov)链与本章中理论性较强的部分相比有了质的变化,它为第5章中出现的概念提供了较好的例子
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4.1 向量空间和子空间
向量空间
定义
一个向量空间是由一些被称为向量的对象构成的非空集合V,在这个集合上定义了
两个运算,称为加法和标量乘法(标量取实数),服从以下公理(或法则),这些公理必须对
V中所有向量u,ν,w及所有标量(或称数)c和d均成立
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u,v之和(表示为u+ν)属于V
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u+v=y+u
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(u+v)+w=u+(v+w)
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V中存在一个零向量0,使得u+0=u
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对V中每个向量u,存在V中一个向量-u,使得u+(-u)=0.
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u与标量c的标量乘法(记为cu)属于V
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c(u+v)=cu+cv
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(c+d)u=cu+du
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c(du)=(cd)u
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1u=u
V(n维空间有向线段的集合)是向量空间
Pn是向量空间
对于n≥0,次数最高为n的多项式集合Pn由形如下列的多项式组成
p(t)=a0+a1 t+a2 t2+...+an tn
V(函数的集合)是向量空间
设V是定义在集合D上的全体实值函数的集合(典型地,D为实数集或实轴上的区间)
用通常方式定义加法(f+g)仍为函数,在D中t处的值为f(t)+g(t).
同样,对标量c和V中的f,标量乘法cf仍为函数,在t的值为cf(t).
子空间
定义
向量空间V的一个子空间是V的一个满足以下三个性质的子集H:
- V中的零向量在H中
- H对向量加法封闭,即对H中任意向量u,ν,和u+v仍在H中
- H对标量乘法封闭,即对H中任意向量u和任意标量c,向量cu仍在H中.
R2不是R3的子空间,也不是它的子集
描述子空间的常用方法
线性组合:表示一些向量的任意标量乘法之和
Span{v1...vn}表示所有可以表示成v1…,vn的线性组合的向量集合
从而可推
定理1
若v1…,vp在向量空间V中,则Span{v1,…,vp}是V的一个子空间
我们称Span{v1…,vp}是由{v1…,vp}生成(或张成)的子空间.给定V的任一子空间H,H
的生成(或张成)集是集合{v1…,vp}CH,满足H=Span{v1…,vp}
形如如
x=av1+bv2 a,b为任意数
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4.2 向量空间.子空间和线性变换.
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