0 简介
CART剪枝算法从"完全生长"的决策树的底端剪去一些子树，使决策树变小(模型变简单)，从而能够对未知数据有更准确的预测。
分两步：
1.从生产算法产生的整体的树 
的最底端开始不断剪枝，直至剪到整个树 的根结点为止，从而形成了一个子树序列 
；
2.通过交叉验证法在独立的验证数据集上对子树序列进行测试，从中选出最优子树。
1.剪枝，形成一个子树序列
剪枝剪枝，怎么来剪？
从前面第4节将的剪枝内容来看，我们需要整一个损失函数来控制剪枝。
这个损失函数为： 
其中，T为任意子树， 
为对训练数据的预测误差(如基尼指数)， 
为子树的叶结点个数，表示树的复杂度的。 
为参数， 
为参数是 
时的子树T的整体损失。
参数 权衡训练数据的拟合程度与模型的复杂度。
上述关于损失函数的定义，在前面的章节中已经介绍的非常多了，看过前面的这部分就不难理解。以后的章节中，如果遇到前面详细介绍过的内容，除非必要，就都不啰嗦了。
对固定的一个 值，一定存在使损失函数 最小的子树，将其表示为 
。这个 取值越大，最优子树就偏向于简单地子树(即叶结点少)， 取值越小，最优子树偏向于与训练数据集更好地拟合。我们可以想象一个极端情况，当 
时，最优子树是根结点构成的单结点树；当 
时，最优子树就是整体树本身。(这个一定要结合上面的损失函数公式来理解)。
Breiman(CART提出者)等人证明：可以用递归的方法对树进行剪枝。什么意思呢？就是将 从0开始逐渐增大， 
，产生一系列的区间 
；对每一个 取值，都能得到一个最优子树，最终得到对应的最优子树集 ，序列中 是整树，一直到 
(根结点构成的单结点树)，是嵌套的。子树序列对应着区间 
。
整个剪枝过程的示意图如上。接下来我们来看看具体数学过程是怎样的。
从整体树 开始剪枝。对于 的任意内部结点t(除叶结点外的所有结点，包括根结点)，计算以t为单结点树的损失函数：
如下图
然后计算以t为根结点的子树 
的损失函数：
如下图
接下来进行 
的比较：
1） 当 
，有不等式
意思是，此时如果保留这个子树，得到的总的损失函数是会比剪掉它更小的，所以我们选择保留子树不剪。
2） 当 增大时，在某一 值时有
此时，由公式可以推出： 
。 
在这时取相同的损失函数值。但由于t的结点少，因此t比 更可取，故应对子树 进行剪枝。
3） 当 再增大时，1）中的不等式反向，即
此时就应该再取下一个内部结点，进行下一步剪枝判断了。
对 中每一内部结点t，计算：
(即对应着不同的 取值)
这个g(t)表示剪枝后整体损失函数减少的程度。在 中减去g(t)值最小的子树 ，将得到的剩下的子树作为 
，同时将最小的g(t)设为 
。 为区间 
的最优子树。
如此剪枝下去，直至得到根结点。在这一过程中，不断地增加 的值，得到更小的子树，产生新的区间。就得到了最优子树序列， ，剪枝后对新的叶结点t以多数表决法决定其类。
2.在剪枝得到的子树序列 
中通过交叉验证选取最优子树 
利用独立的验证数据集，测试子树序列 中各棵子树的平方误差或基尼指数。选择平方误差或基尼指数最小的决策树作为最优的决策树。在子树序列中，每棵子树 都对应于一个参数 
。所以，当最优子树 
确定时，对应的 
也确定了，即得到最优决策树 。
