0. PMF 与 PDF 的记号

  • PMF：PX(x)
  • PDF：fX(x)

1. 联合概率

联合概率：是指两个事件同时发生的概率。


P(A,B)=P(B|A)⋅P(A)⇒P(B|A)=P(A,B)P(A)


因此当两事件独立时，P(A,B)=P(A)⋅P(B)，此时，P(B|A)=P(B)，也即事件 A 发不发生对事件 B 发生的概率没有影响。

2. 分布与分布函数

分布函数的现实意义在于，其能够计算随机变量的取值落在某一区间 (x1,x2] 的概率：P{x1<X≤x2}：


P{x1<X≤x2}=P(X≤x2)−P(X≤x1)


统计学上，分布是指一组值及其对应的概率。

  • 分布函数（distribution function）与 CDF（cumulative distribution function） 是一个概念。

CDF 完成的映射是，R→[0,1]：


FX(x)=P(X≤x)


注意一些数学记号（P,p）的写法：


F(x)=FX(x)=P(X≤x)=∑xi≤xP(X=xi)=∑xi≤xp(xi)


3. cdf 右连续性的理解

联合概率（joint probability）、分布函数（distribution function）_正态分布

从上到下依次是：

  • 离散型 cdf
  • 连续型 cdf
  • 离散+连续 cdf

4. span 的长度

手掌撑开，大拇指指尖到小指指尖的长度，称为 1 span。

某学校某年级的每学生的 span 统计起来，应当服从何种分布呢？

  • 男生手指，正态分布（长度小于 0 的概率值为 0，长度足够大的概率也为 0）
  • 女生手指，正态分布（…）
  • 男生和女生手指一块统计，一个双峰分布；