学习笔记
欧拉定理和函数的一些理解
欧拉定理，先放式子：
\[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}
\]
前提是 \(\gcd(a,m)=1\)。
证明：设 \(r_1,r_2,...r_{\varphi(m)}\) 为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系，那么 \(ar_1,ar_2,...ar_{\varphi(m)}\) 也为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系。
所以：
\[r_1r_2...r_{\varphi(m)}\equiv ar_1ar_2...ar_{\varphi(m)}\pmod{m}
\]
化简：
\[r_1r_2...r_{\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}r_1r_2...r_{\varphi(m)}\pmod{m}
\]
两边一消，则可得 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m}\)。
扩展欧拉定理：
\[a^b\equiv \begin{cases}
a^{b\mod \varphi(m)},&\gcd(a,m)=1\\
a^{b},&\gcd(a,m)\neq 1,b<\varphi(m)\\
a^{b\mod \varphi(m)+\varphi(m)},&\gcd(a,m)\neq 1,b\ge \varphi(m)
\end{cases}
\]
证明还不会。
欧拉函数：
- 欧拉函数是一个奇性函数，\(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)。
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