题目link：https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1394
Part0：
题意简化：
约瑟夫问题。
给定 $n$ 个编号由 $1$ $\text{~}$ $n$ 的人，最开始杀掉第 $m$ 个人，接着每数 $k$ 个人就杀掉最后数到的那个，求最后剩下的人的编号。
Part1：
首先容易得出一个 $O(n^2)$ 的用数组循环暴力模拟的算法，但是发现这个算法会枚举到已经死掉的人，因此考虑用链表优化。
Part2：
链表可以 $O(1)$ 进行删除，因此可以 $O(nk)$ 地解决这个问题，但是显然 $n$，$k$ 最大为 $10^4$，$O(nk)$ 过不了此题，所以考虑用递推解决。
这里也给出链表做法的代码：
1 #include <cstdio> 2 3 const int MAXN = 1e4; 4 5 int n, k, m; 6 7 struct Node { 8 int nxt, pre, val, dead; 9 }lst[MAXN + 10]; 10 11 void remove(int id) { 12 13 lst[id].dead = 1; 14 lst[lst[id].nxt].pre = lst[id].pre; 15 lst[lst[id].pre].nxt = lst[id].nxt; 16 17 return; 18 } 19 20 int main() { 21 22 while(233) { 23 24 scanf("%d %d %d", &n, &k, &m); 25 if(!n && !k && !m) return 0; 26 27 for(int i = 1; i <= MAXN; ++i) { 28 lst[i].dead = 0, lst[i].nxt = 0, lst[i].pre = 0, lst[i].val = 0; 29 } 30 lst[1].nxt = 2, lst[1].pre = n, lst[1].val = 1; 31 lst[n].nxt = 1, lst[n].pre = n - 1, lst[n].val = n; 32 for(int i = 2; i < n; ++i) { 33 lst[i].pre = i - 1, lst[i].nxt = i + 1, lst[i].val = i; 34 } 35 36 remove(m); 37 int numKill = 1; 38 int lastKill = m; 39 while(++numKill != n) { 40 for(int i = 1; i <= k; ++i) { 41 lastKill = lst[lastKill].nxt; 42 } 43 remove(lastKill); 44 } 45 46 for(int i = 1; i <= n; ++i) { 47 if(!lst[i].dead) { 48 printf("%d\n", i); 49 break; 50 } 51 } 52 53 } 54 55 return 0; 56 }
Part3：
设 $f_i$ 表示 $i$ 个编号为 $\text{0 ~ i - 1}$ 的人，每次都数到 $k$ 就杀（注意这里是先杀 $k$ $-$ $1$ 不是先杀 $m$ $-$ $1$ 且 为了方便，编号换了一下）。
则递推式为：
$f_i$ $=$ $(f_{i - 1}$ $+$ $k)$ $\%$ $i;$
Part3.1：
举个例子：
对于一个 $\text{n = 6，k = 3}$ 的例子。
容易发现第一个死掉的人就是 $\text{2}$ 号。
以此类推容易得出最后剩下的人就是 $\text{0}$ 号。
那么对于一个 $\text{n = 5，k = 3}$ 的例子。
容易得出第一个死的人还是 $\text{2}$ 号。
以此类推可以得出最后剩下的人就是 $\text{3}$ 号。
Part3.2：
对递推式的理解为，在 $\text{n = 6，k = 3}$ 的图上杀掉第一个人 $\text{2}$ 号时，从 $\text{2}$ 号的下一个 $\text{3}$ 号开始从 $0$ 顺序重新编号。
这样一来，容易发现新的编号（蓝色编号），比原来的编号都大了 $k$，而这个新的编号恰好就是 $\text{n = 5，k = 3}$ 时的图，因此得到 $\text{n = 5，k = 3}$ 时的解，就可以用那个解 $\text{+ k}$ 再 $\text{% n(n = 6)}$ 得到 $\text{n = 6，k = 3}$ 时的解，如此得到上面的那个递推式也就顺理成章了。
Part4：
但是得到这个递推式后还需要一些修改，因为此题的编号是 $\text{1 ~ n}$ 而不是 $\text{0 ~ n - 1}$，杀掉的第一个人是 $m$ 而不是 $k$，具体细节详见代码。
code：
1 #include <cstdio> 2 3 const int MAXN = 1e4; 4 5 int n, k, m, f[MAXN + 10]; 6 7 int main() { 8 9 while(233) { 10 scanf("%d %d %d", &n, &k, &m); 11 if(!n && !k && !m) return 0; 12 f[1] = 0; 13 for(int i = 2; i <= n; ++i) { 14 f[i] = (f[i - 1] + k) % i; 15 } 16 printf("%d\n", (((f[n] + (m - k))) % n + n) % n + 1); 17 } 18 19 return 0; 20 }
